Arılar Ve Hayvanlardaki Matematiksel Becerileri nedir
Hayvanlardaki matematiksel beceriler nelerdir?
Arılar Ve Hayvanlardaki Matematiksel Beceriler
Bal Peteğindeki Matematik Sırlar
Bal peteğinin yıkıntıilginç mimarisi tarih baştan başa insanların ilgisini çekmiştir Alt yandan altıgenlerden oluşan bu inşa, son derece alıngan olup sıradan duvar kalınlıkları 0,1 mm'dir Bu ortalama değerden sapma ise, maksimum 0,002 mm kadardır Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek için, matematikî bir manzara açısına sahip elde etmek gerekir
Daire, muhakkak bir değişmez alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir Meselâ alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduğu görülür Ama bal peteğinin inşasında durum bütün olarak böyle değildir Burada bal peteğinin geniş çerçevesi, eşdeğer ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme işleminde en düşük çevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır Çerçeveyi, eşdeğer alanlara sahip minik daireler şeklindeki peteklere taksim etmek istersek, yukarıda ifade edildiği gibi en kısa kenar özelliği sağlanacak, ama dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar için daha pozitif mum harcanmış olacaktır
Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve minimum malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiğimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir Kenar sayısı n olan benzer alana sahip çokgenler düşünelim Bunların içerisinde en kısa çevre uzunluğuna sahip olanı akıcı ngendir Düzgün ile kastedilen, bütün kenarları ve iç açıları eşdeğer olandır Bu tip bir çokgen, daima bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri çemberin çevresi üzerindedir Böyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından nedeniyle çevre uzunluğu minimum olmaktadır Meselâ eşdeğer alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende, dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi arasında kıyaslanırsa, en kısa çevre uzunluğu düzgün beşgen ve altıgende elde edilebilir
Akla gelebilecek ilk soru, muhakkak bir alanı bölerken hangi akıcı çokgeni kullanmamız gerektiğidir Bir daire ve içerisine çizilmiş n cepheli bir sürükleyici çokgenin bir iç açısı 180360n derecedir Verilen bir geniş alanı minik alanlara ayırmak istediğimizde, komşu çokgenlerin birbirlerine bütün oturması ve aralarında haylazlık kalmaması gerekir Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komşu çokgen köşelerine ait iç açıları toplamı 360 derece olmalıdır Başka bir ifadeyle bir iç açının bütün rakam bir katı 360 derece olmalıdır N komşu iç açıların adedini sunmak üzere, bu durumda aşağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):
N (180 360 n ) 360
Buradan N çözülürse
N 2n (n2) 2 + 4 (n2)
ifadesi elde edilir Bulmak istediğimiz, hangi kenar sayısı n için, N değeri tamsayı olmaktadır Tamsayı değerleri, yalnızca n 3, 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6'dan büyük hiçbir sayı için tamsayı elde edilemez Yani bir alanı boşluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen ya da altıgen kullanmalıyız Kenar sayısı 6'dan artı olan sürükleyici bir çokgen ile boşluksuz bölme muhtemel değildir Aynı şekilde düzgün beşgenler de yerinde bir çözüm değildir Üç akıcı beşgenin ast yandan getirilmesi ile 36O açısal manâsız bir bölge ortaya çıkar Halbuki altıgenler boşluksuz bağlı yana getirilebilirler Ayrıca eşit alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, asgari çizgi uzunluğu altıgende olmaktadır Dolayısı ile en düşük balmumu sarfiyatı bu şekilde bölme kullanılarak elde edilebilir
Matematikçiler hem, kenarları doğru olmayan, eğri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar Kenar çarpık olunca, bir çokgende dışbükey şekil elde edilirken komşu çokgende ister istemez konkav şekil elde edilmektedir Dışbükey çarpık ile elde edilen avantajı (daire parçasına daha pozitif benzemesinden nedeniyle) konkav eğriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir Michigan Üniversitesinden Thomas Hales 1999'da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit minik alanlara bozmak istediğimizde, en ideal şeklin düzgün altıgen olduğunu ispatladı Her ne kadar altıgen şeklin, ideal bir şekil olduğu uzun zamandır belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı 1999'da ispatını fakat yapabildiğimiz bir çözümü, arıların milyonlarca yıldır şaşırmadan Sevki İlâhî ile uygulamaları, Allah'ın ilhâmından diğer ne olabilir ancak Şâyet arıların petek inşa teknikleri birincil yaratıldıkları dönemden bu yandan evrimleşerek gelseydi, eski kalıntı kayıtlarında, altıgen dıştan başka geometrik şekillere de rastlanması gerekirdi Halbuki başka bir şekildeki bal peteğinin kullanıldığına dâir ipucuna rastlanmamıştır Kişisel Olarak Charles Darwin bal peteğini, işçilik ve balmumunu çok iyi ekonomize eden bir mühendislik harikası olarak tanımlamıştır
Hayvanlardaki matematiksel beceriler
KUŞLAR
Kuşlar uzun göçlerde tek başlarına değil, sürü halinde uçmayı seçim ederler Sürünün Vşeklindeki uçuşu, her kuşa %23'lük bir enerji tasarrufu sağlamaktadır
KUNDUZ
Kunduz yuvası, aynı zamanda epeyce geniş bir barajdır Kunduzun yapı ettiği baraj, suyun önünü tam 45 derecelik bir açıyla keser Yani hayvan barajını, dalları suyun önüne rastgele atarak değil iyice planlı bir şekilde yapı etmektedir Burada ilginç olan günümüz hidroelektrik santrallerinin tümünün bu açıyla yapı edilmesidir Kunduzlar, bunun yanısıra, suyun önünü en ince ayrıntısına kadar kesmek gibi bir kusur da yapmazlar Barajı istedikleri yükseklikte su tutabilecek şekilde inşa eder, fazla suyun akması için özel kanallar bırakırlar Kunduzun yaratılışı, oluşturacağı inşaatçılık işi için özel tasarımlarla doludur
ÖRÜMCEK
Ağ örümü genelde gece olur Örülmesi azami 60 dakika alır Ağın ortasında spiral ve yapışık bir yer vardır Diğer iplikçikler kurudur Bir sinek ağa konsa derhal yapışır Kurtulmak için çırpındıkça daha da yapışır Ikaz iplikçiği ile avın yakalandığını anlayan örümcek gelerek avını zehirler Uyarı iplikçiğinin bir ucu ağa tabi, diğer ucu ise daima kendisindedir
Ağlar, genelde yere düşey vaziyettedir Maksat, uçan arı ve sinekleri yakalamaktır Her örümcek türünün, kendisine has ağ örme stili vardır Fakat dikkati çeken nokta, ağlarda geometrik inceliklerin daima varlığıdır Ağ örme işi örümceklerin, doğuştan kazandıkları bir sanattır Minik bir örümcek, daha önce hiç ağı görmemiş ve örmemiş olmasına karşın büyüklere aynı ağlar örer *
Hayvanlardaki matematiksel beceriler nelerdir?
Arılar Ve Hayvanlardaki Matematiksel Beceriler
Bal Peteğindeki Matematik Sırlar
Bal peteğinin yıkıntıilginç mimarisi tarih baştan başa insanların ilgisini çekmiştir Alt yandan altıgenlerden oluşan bu inşa, son derece alıngan olup sıradan duvar kalınlıkları 0,1 mm'dir Bu ortalama değerden sapma ise, maksimum 0,002 mm kadardır Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek için, matematikî bir manzara açısına sahip elde etmek gerekir
Daire, muhakkak bir değişmez alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir Meselâ alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduğu görülür Ama bal peteğinin inşasında durum bütün olarak böyle değildir Burada bal peteğinin geniş çerçevesi, eşdeğer ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme işleminde en düşük çevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır Çerçeveyi, eşdeğer alanlara sahip minik daireler şeklindeki peteklere taksim etmek istersek, yukarıda ifade edildiği gibi en kısa kenar özelliği sağlanacak, ama dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar için daha pozitif mum harcanmış olacaktır
Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve minimum malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiğimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir Kenar sayısı n olan benzer alana sahip çokgenler düşünelim Bunların içerisinde en kısa çevre uzunluğuna sahip olanı akıcı ngendir Düzgün ile kastedilen, bütün kenarları ve iç açıları eşdeğer olandır Bu tip bir çokgen, daima bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri çemberin çevresi üzerindedir Böyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından nedeniyle çevre uzunluğu minimum olmaktadır Meselâ eşdeğer alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende, dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi arasında kıyaslanırsa, en kısa çevre uzunluğu düzgün beşgen ve altıgende elde edilebilir
Akla gelebilecek ilk soru, muhakkak bir alanı bölerken hangi akıcı çokgeni kullanmamız gerektiğidir Bir daire ve içerisine çizilmiş n cepheli bir sürükleyici çokgenin bir iç açısı 180360n derecedir Verilen bir geniş alanı minik alanlara ayırmak istediğimizde, komşu çokgenlerin birbirlerine bütün oturması ve aralarında haylazlık kalmaması gerekir Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komşu çokgen köşelerine ait iç açıları toplamı 360 derece olmalıdır Başka bir ifadeyle bir iç açının bütün rakam bir katı 360 derece olmalıdır N komşu iç açıların adedini sunmak üzere, bu durumda aşağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):
N (180 360 n ) 360
Buradan N çözülürse
N 2n (n2) 2 + 4 (n2)
ifadesi elde edilir Bulmak istediğimiz, hangi kenar sayısı n için, N değeri tamsayı olmaktadır Tamsayı değerleri, yalnızca n 3, 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6'dan büyük hiçbir sayı için tamsayı elde edilemez Yani bir alanı boşluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen ya da altıgen kullanmalıyız Kenar sayısı 6'dan artı olan sürükleyici bir çokgen ile boşluksuz bölme muhtemel değildir Aynı şekilde düzgün beşgenler de yerinde bir çözüm değildir Üç akıcı beşgenin ast yandan getirilmesi ile 36O açısal manâsız bir bölge ortaya çıkar Halbuki altıgenler boşluksuz bağlı yana getirilebilirler Ayrıca eşit alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, asgari çizgi uzunluğu altıgende olmaktadır Dolayısı ile en düşük balmumu sarfiyatı bu şekilde bölme kullanılarak elde edilebilir
Matematikçiler hem, kenarları doğru olmayan, eğri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar Kenar çarpık olunca, bir çokgende dışbükey şekil elde edilirken komşu çokgende ister istemez konkav şekil elde edilmektedir Dışbükey çarpık ile elde edilen avantajı (daire parçasına daha pozitif benzemesinden nedeniyle) konkav eğriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir Michigan Üniversitesinden Thomas Hales 1999'da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit minik alanlara bozmak istediğimizde, en ideal şeklin düzgün altıgen olduğunu ispatladı Her ne kadar altıgen şeklin, ideal bir şekil olduğu uzun zamandır belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı 1999'da ispatını fakat yapabildiğimiz bir çözümü, arıların milyonlarca yıldır şaşırmadan Sevki İlâhî ile uygulamaları, Allah'ın ilhâmından diğer ne olabilir ancak Şâyet arıların petek inşa teknikleri birincil yaratıldıkları dönemden bu yandan evrimleşerek gelseydi, eski kalıntı kayıtlarında, altıgen dıştan başka geometrik şekillere de rastlanması gerekirdi Halbuki başka bir şekildeki bal peteğinin kullanıldığına dâir ipucuna rastlanmamıştır Kişisel Olarak Charles Darwin bal peteğini, işçilik ve balmumunu çok iyi ekonomize eden bir mühendislik harikası olarak tanımlamıştır
Hayvanlardaki matematiksel beceriler
KUŞLAR
Kuşlar uzun göçlerde tek başlarına değil, sürü halinde uçmayı seçim ederler Sürünün Vşeklindeki uçuşu, her kuşa %23'lük bir enerji tasarrufu sağlamaktadır
KUNDUZ
Kunduz yuvası, aynı zamanda epeyce geniş bir barajdır Kunduzun yapı ettiği baraj, suyun önünü tam 45 derecelik bir açıyla keser Yani hayvan barajını, dalları suyun önüne rastgele atarak değil iyice planlı bir şekilde yapı etmektedir Burada ilginç olan günümüz hidroelektrik santrallerinin tümünün bu açıyla yapı edilmesidir Kunduzlar, bunun yanısıra, suyun önünü en ince ayrıntısına kadar kesmek gibi bir kusur da yapmazlar Barajı istedikleri yükseklikte su tutabilecek şekilde inşa eder, fazla suyun akması için özel kanallar bırakırlar Kunduzun yaratılışı, oluşturacağı inşaatçılık işi için özel tasarımlarla doludur
ÖRÜMCEK
Ağ örümü genelde gece olur Örülmesi azami 60 dakika alır Ağın ortasında spiral ve yapışık bir yer vardır Diğer iplikçikler kurudur Bir sinek ağa konsa derhal yapışır Kurtulmak için çırpındıkça daha da yapışır Ikaz iplikçiği ile avın yakalandığını anlayan örümcek gelerek avını zehirler Uyarı iplikçiğinin bir ucu ağa tabi, diğer ucu ise daima kendisindedir
Ağlar, genelde yere düşey vaziyettedir Maksat, uçan arı ve sinekleri yakalamaktır Her örümcek türünün, kendisine has ağ örme stili vardır Fakat dikkati çeken nokta, ağlarda geometrik inceliklerin daima varlığıdır Ağ örme işi örümceklerin, doğuştan kazandıkları bir sanattır Minik bir örümcek, daha önce hiç ağı görmemiş ve örmemiş olmasına karşın büyüklere aynı ağlar örer *