Arıların petekleri neden altıgen şeklinde
Bal Peteğindeki Matematik
* Altıgenin, eşkenar ucgen ve kareye nazaran avantajlı tarafları
* Altıgen bir prizma şeklinde olan peteğin, acık ucunu kapatmak icin kullanılacak balmumunun israf edilmemesi icin, nasıl bir geometri uygulanmalıdır?
Bal peteğinin enteresan mimarisi tarih boyunca insanların ilgisini cekmiştir Yan yana altıgenlerden oluşan bu yapı, son derece hassas olup ortalama duvar kalınlıkları 0,1 mmdir Bu ortalama değerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardır Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek icin, matematiki bir bakış acısına sahip olmak gerekir
Daire, belli bir sabit alanı cevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir Mesela alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin cevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin cevresinin daha kısa olduğu gorulur Ancak bal peteğinin inşasında durum tam olarak boyle değildir Burada bal peteğinin geniş cercevesi, eşit ve daha kucuk alanlara bolunecektir ve bolme işleminde en az cevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır Cerceveyi, eşit alanlara sahip kucuk daireler şeklindeki peteklere bolmek istersek, yukarıda ifade edildiği gibi en kısa kenar ozelliği sağlanacak, fakat dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar icin daha fazla mum harcanmış olacaktır
Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve en az malzemeyle (mum) cozmek icin geometri prensiplerine muracaat ettiğimizde, peteklerin bolunmesinde cokgenlerin kullanılması gerektiği gorulecektir Kenar sayısı n olan aynı alana sahip cokgenler duşunelim Bunların icerisinde en kısa cevre uzunluğuna sahip olanı duzgun ngendir Duzgun ile kastedilen, butun kenarları ve ic acıları eşit olandır Bu tip bir cokgen, her zaman bir dairenin icine cizilebilir ve cokgenin koşeleri cemberin cevresi uzerindedir Boyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından dolayı cevre uzunluğu en az olmaktadır Mesela eşit alanlı ucgenler icerisinde en kısa cevre uzunluğu eşkenar ucgende, dortgenler arasında en kısa cevre uzunluğu ise karede elde edilir Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa, en kısa cevre uzunluğu duzgun beşgen ve altıgende elde edilebilir
Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alanı bolerken hangi duzgun cokgeni kullanmamız gerektiğidir Bir daire ve icerisine cizilmiş n kenarlı bir duzgun cokgenin bir kısmı Şekil 1'de gosterilmiştir Şekilden de gorulebileceği gibi cokgenin bir ic acısı 180360n derecedir Verilen bir geniş alanı kucuk alanlara bolmek istediğimizde, komşu cokgenlerin birbirlerine tam oturması ve aralarında boşluk kalmaması gerekir Bunun olabilmesi icin birbirine yaslanan komşu cokgen koşelerine ait ic acıları toplamı 360 derece olmalıdır (Şekil 2) Başka bir ifadeyle bir ic acının tam sayı bir katı 360 derece olmalıdır N komşu ic acıların adedini temsil etmek uzere, bu durumda aşağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):
N (180 360 n ) 360
Buradan N cozulurse
N 2n (n2) 2 + 4 (n2)
ifadesi elde edilir Bulmak istediğimiz, hangi kenar sayısı n icin, N değeri tamsayı olmaktadır Tamsayı değerleri, sadece n 3, 4 ve 6 icin elde edebiliriz ve 6'dan buyuk hicbir rakam icin tamsayı elde edilemez Yani bir alanı boşluksuz bolmek istersek, ya ucgen, ya dortgen veya altıgen kullanmalıyız Kenar sayısı 6'dan fazla olan duzgun bir cokgen ile boşluksuz bolme mumkun değildir Benzer şekilde duzgun beşgenler de uygun bir cozum değildir Şekil 3'te uc duzgun beşgenin yan yana getirilmesi ile 36O acılı boş bir alan ortaya cıkmıştır Halbuki altıgenler boşluksuz yan yana getirilebilirler (Şekil 4)Ayrıca eşit alanlı ucgen, dortgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, en az cizgi uzunluğu altıgende olmaktadır Dolayısı ile en az balmumu sarfiyatı bu şekilde bolme kullanılarak elde edilebilir
Matematikciler ayrıca, kenarları doğru olmayan, eğri olan cokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar Kenar eğri olunca, bir cokgende dışbukey şekil elde edilirken komşu cokgende ister istemez icbukey şekil elde edilmektedir Dışbukey eğri ile elde edilen avantajı (daire parcasına daha fazla benzemesinden dolayı) icbukey eğriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanc elde edilememektedir Michigan Universitesinden Thomas Hales 1999'da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit kucuk alanlara ayırmak istediğimizde, en ideal şeklin duzgun altıgen olduğunu ispatladı Her ne kadar altıgen şeklin, ideal bir şekil olduğu uzun zamandır belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı
Şimdiye kadar probleme iki boyutlu baktık Ancak bal peteği uc boyutlu bir cisim olup altıgen prizma şeklindedir Altıgen prizma şeklindeki petekler iki tabaka halinde olup, bir ucları acık, diğer kapalı ucları ise sırt sırta yerleştirilmiştir (Şekil 5) Cerceve yere dik gelecek şekilde yerleştirildiğinde, prizmalar yatay ile 13Olik bir eğim acısı yapacak şekilde inşa edilmiş olurlar ve bu acı balın akmaması icin yeterli olan en kucuk acıdır Acaba peteğin kapalı ucunda en az balmumu sarfiyatı icin nasıl bir geometri olmalıdır? 1964'te matematikci Fejes Toth, en ideal kapatmanın iki altıgen ve iki kare ile sağlanabileceğini gosterdi (Şekil 6a) Arılar ise biraz farklı olarak uc eşkenar dortgenle kapatma yapmaktaydılar (Şekil 6b) Eşkenar dortgenlerin ic acıları 70,5O ve 109,5O olup, uc eşkenar dortgen catısı şekli icin en ideal matematik cozumu vermektedir Gorunuşte arıların uygulamasında iki altıgen ve iki kareye gore alanda % 0,035'lik cok kucuk bir kayıp olmaktaydı Ancak gozden kacırılan bir nokta vardı, o da hesaplamalarda duvar kalınlığı son derece ince alınıyordu
Araştırmacılar, Tothun matematik modelini tecrube etmek uzere sıvı hava kopuğu kullandılar İki cam arasına, iki tabaka olacak şekilde 2 mm caplı kabarcıklara sahip deterjan cozeltisi pompaladılar Camlarla temas eden kabarcıklar altıgen yapılara donuştu Ortada iki tabakanın sınırında ise Tothun one surduğu iki altıgen ve iki kare şeklindeki yapı oluştu Kabarcık duvarları biraz kalınlaştırıldığında ise, enteresan bir durum ortaya cıktı ve yapı birden arılarda olduğu gibi uc eşkenar dortgen yapısına donuştu
Bal Peteğindeki Matematik
* Altıgenin, eşkenar ucgen ve kareye nazaran avantajlı tarafları
* Altıgen bir prizma şeklinde olan peteğin, acık ucunu kapatmak icin kullanılacak balmumunun israf edilmemesi icin, nasıl bir geometri uygulanmalıdır?
Bal peteğinin enteresan mimarisi tarih boyunca insanların ilgisini cekmiştir Yan yana altıgenlerden oluşan bu yapı, son derece hassas olup ortalama duvar kalınlıkları 0,1 mmdir Bu ortalama değerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardır Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek icin, matematiki bir bakış acısına sahip olmak gerekir
Daire, belli bir sabit alanı cevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir Mesela alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin cevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin cevresinin daha kısa olduğu gorulur Ancak bal peteğinin inşasında durum tam olarak boyle değildir Burada bal peteğinin geniş cercevesi, eşit ve daha kucuk alanlara bolunecektir ve bolme işleminde en az cevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır Cerceveyi, eşit alanlara sahip kucuk daireler şeklindeki peteklere bolmek istersek, yukarıda ifade edildiği gibi en kısa kenar ozelliği sağlanacak, fakat dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar icin daha fazla mum harcanmış olacaktır
Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve en az malzemeyle (mum) cozmek icin geometri prensiplerine muracaat ettiğimizde, peteklerin bolunmesinde cokgenlerin kullanılması gerektiği gorulecektir Kenar sayısı n olan aynı alana sahip cokgenler duşunelim Bunların icerisinde en kısa cevre uzunluğuna sahip olanı duzgun ngendir Duzgun ile kastedilen, butun kenarları ve ic acıları eşit olandır Bu tip bir cokgen, her zaman bir dairenin icine cizilebilir ve cokgenin koşeleri cemberin cevresi uzerindedir Boyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından dolayı cevre uzunluğu en az olmaktadır Mesela eşit alanlı ucgenler icerisinde en kısa cevre uzunluğu eşkenar ucgende, dortgenler arasında en kısa cevre uzunluğu ise karede elde edilir Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa, en kısa cevre uzunluğu duzgun beşgen ve altıgende elde edilebilir
Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alanı bolerken hangi duzgun cokgeni kullanmamız gerektiğidir Bir daire ve icerisine cizilmiş n kenarlı bir duzgun cokgenin bir kısmı Şekil 1'de gosterilmiştir Şekilden de gorulebileceği gibi cokgenin bir ic acısı 180360n derecedir Verilen bir geniş alanı kucuk alanlara bolmek istediğimizde, komşu cokgenlerin birbirlerine tam oturması ve aralarında boşluk kalmaması gerekir Bunun olabilmesi icin birbirine yaslanan komşu cokgen koşelerine ait ic acıları toplamı 360 derece olmalıdır (Şekil 2) Başka bir ifadeyle bir ic acının tam sayı bir katı 360 derece olmalıdır N komşu ic acıların adedini temsil etmek uzere, bu durumda aşağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):
N (180 360 n ) 360
Buradan N cozulurse
N 2n (n2) 2 + 4 (n2)
ifadesi elde edilir Bulmak istediğimiz, hangi kenar sayısı n icin, N değeri tamsayı olmaktadır Tamsayı değerleri, sadece n 3, 4 ve 6 icin elde edebiliriz ve 6'dan buyuk hicbir rakam icin tamsayı elde edilemez Yani bir alanı boşluksuz bolmek istersek, ya ucgen, ya dortgen veya altıgen kullanmalıyız Kenar sayısı 6'dan fazla olan duzgun bir cokgen ile boşluksuz bolme mumkun değildir Benzer şekilde duzgun beşgenler de uygun bir cozum değildir Şekil 3'te uc duzgun beşgenin yan yana getirilmesi ile 36O acılı boş bir alan ortaya cıkmıştır Halbuki altıgenler boşluksuz yan yana getirilebilirler (Şekil 4)Ayrıca eşit alanlı ucgen, dortgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, en az cizgi uzunluğu altıgende olmaktadır Dolayısı ile en az balmumu sarfiyatı bu şekilde bolme kullanılarak elde edilebilir
Matematikciler ayrıca, kenarları doğru olmayan, eğri olan cokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar Kenar eğri olunca, bir cokgende dışbukey şekil elde edilirken komşu cokgende ister istemez icbukey şekil elde edilmektedir Dışbukey eğri ile elde edilen avantajı (daire parcasına daha fazla benzemesinden dolayı) icbukey eğriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanc elde edilememektedir Michigan Universitesinden Thomas Hales 1999'da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit kucuk alanlara ayırmak istediğimizde, en ideal şeklin duzgun altıgen olduğunu ispatladı Her ne kadar altıgen şeklin, ideal bir şekil olduğu uzun zamandır belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı
Şimdiye kadar probleme iki boyutlu baktık Ancak bal peteği uc boyutlu bir cisim olup altıgen prizma şeklindedir Altıgen prizma şeklindeki petekler iki tabaka halinde olup, bir ucları acık, diğer kapalı ucları ise sırt sırta yerleştirilmiştir (Şekil 5) Cerceve yere dik gelecek şekilde yerleştirildiğinde, prizmalar yatay ile 13Olik bir eğim acısı yapacak şekilde inşa edilmiş olurlar ve bu acı balın akmaması icin yeterli olan en kucuk acıdır Acaba peteğin kapalı ucunda en az balmumu sarfiyatı icin nasıl bir geometri olmalıdır? 1964'te matematikci Fejes Toth, en ideal kapatmanın iki altıgen ve iki kare ile sağlanabileceğini gosterdi (Şekil 6a) Arılar ise biraz farklı olarak uc eşkenar dortgenle kapatma yapmaktaydılar (Şekil 6b) Eşkenar dortgenlerin ic acıları 70,5O ve 109,5O olup, uc eşkenar dortgen catısı şekli icin en ideal matematik cozumu vermektedir Gorunuşte arıların uygulamasında iki altıgen ve iki kareye gore alanda % 0,035'lik cok kucuk bir kayıp olmaktaydı Ancak gozden kacırılan bir nokta vardı, o da hesaplamalarda duvar kalınlığı son derece ince alınıyordu
Araştırmacılar, Tothun matematik modelini tecrube etmek uzere sıvı hava kopuğu kullandılar İki cam arasına, iki tabaka olacak şekilde 2 mm caplı kabarcıklara sahip deterjan cozeltisi pompaladılar Camlarla temas eden kabarcıklar altıgen yapılara donuştu Ortada iki tabakanın sınırında ise Tothun one surduğu iki altıgen ve iki kare şeklindeki yapı oluştu Kabarcık duvarları biraz kalınlaştırıldığında ise, enteresan bir durum ortaya cıktı ve yapı birden arılarda olduğu gibi uc eşkenar dortgen yapısına donuştu