cemberin analitiği konu anlatımı
Cemberin Analitik İncelenmesi Formulleri
Cemberin Analitik İncelenmesi
Analitik duzlemde aynı ozellikteki noktalar birleştirilirse; bazen bir doğru bazen de bir eğri oluşur Her doğrunun bir denklemi olduğu gibi eğrilerin de denklemi vardır Verilen bir eğrinin uzerindeki her noktayı sağlayan bağlantıya, o eğrinin denklemi denir Eğrilerin denklemleri ikinci ya da daha cok dereceden olabilir Cember denklemi de x ve y ye gore ikinci dereceden bir denklemdir
Cemberin Denklemi
Duzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kumesine, cember denir Cember uzerindeki tum noktaların koordinatları arasındaki bağıntıya da cemberin denklemi diyoruz Bir cember, merkezi ve yarıcapı ile belli olduğundan, analitik duzlemde merkezi m(a,b), yarıcap uzunluğu r olan bir cemberin denklemini bulalım:
Cember uzerinde bir nokta P(x,y) ise,
|MP| r dir İki nokta arasındaki uzaklık formulunden;
|MP| (xa)2yb)2 r
(xa)2yb)2 r2
Bu bağıntıya, merkezinin koordinatları M(a,b), yarı capı r olan cemberin denklemi denir
Ornek:
Merkezinin koordinatları; M(2,3) ve yarıcap uzunluğu, r 5 birim olan cemberin denklemini yazınız
Cozum:
M(2,3) a 2, b 3 ve r 5 brim ise,
(xy)2yb)2 r2 (x+2)2(8y3)2 25 bulunur
Merkezli Cemberin Denklemi
Bir cemberin merkezi orijinde ise, merkezin koordinatları M(0,0) dır Yarıcap uzunluğu r, merkezi M(0,0) olan cemberin bu eğerleri, (xa)2yb)2 r2 denkleminde yerlerine yazılırsa, x2+y2 r2 denklemi elde edilir Bu denkleme, yarıcap uzunluğu r olan merkezil cemberin denklemi denir
Ornek:
Bir merkezil cember uzerinde, herhangi bir nokta A(3,4) ise, bu cemberin denklemini bulunuz
Cozum:
Merkezil cemberin denklemi, x2+y2 r2 olduğundan, a(3,4) noktası bu denklemi sağlar Buna gore,
x 3 ve y 4 (3)2+42 r2
9+16 r2 r 5 bulunur Oyleyse, aradığımız denklem x2+y2 25 bulunur
Merkezleri Eksenler Uzerinde veya Eksenlere Teğet Cemberlerin Denklemleri
1 Merkezi x ekseni uzerinde olan cemberin denklemi:
a 0 ve b 0 dır
M(0,b) (xa)2 + y2 r2 olur
2 Merkezi y ekseni uzerinde olan cemberin denklemi:
a 0 ve b 0 dır
M(0,b) x2 + (yb)2 r2 olur
3 x eksenine teğet olan cemberin denklemi:
|b| r ise M(a,r)
(xa) 2+ (yr)2 r2 olur
y
M(a,r)
O a x
4 y eksenine teğet olan cemberin denklemi;
|a| r ise, M(r,b)
(xr)2 + (yb)2 r2 olur
y
b
M(r,b)
x
5 Her iki eksene teğet cemberin denklemi:
Eksenlere I ve III bolgede teğet cemberlerin merkezleri, y x denklemi ile verilen doğru (I Acıortay) uzerinde; eksenlere II ve IV bolgede teğet cemberlerin merkezleri de denklemi y x olan doğru (II acıortay ) uzerinde bulunur
y y
y x
M1 M2
O x O x
M3 M4
y x
M1 (r,r) (xr)2 + (yr)2 r2 M2 (r,r) (x+r)2 + (yr)2 r2
M3 (r,r) (x+r)2 + (y+r)2 r2 M4 (r,r) (xr)2 + (y+r)2 r2
alıntı
Cemberin Analitik İncelenmesi Formulleri
Cemberin Analitik İncelenmesi
Analitik duzlemde aynı ozellikteki noktalar birleştirilirse; bazen bir doğru bazen de bir eğri oluşur Her doğrunun bir denklemi olduğu gibi eğrilerin de denklemi vardır Verilen bir eğrinin uzerindeki her noktayı sağlayan bağlantıya, o eğrinin denklemi denir Eğrilerin denklemleri ikinci ya da daha cok dereceden olabilir Cember denklemi de x ve y ye gore ikinci dereceden bir denklemdir
Cemberin Denklemi
Duzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kumesine, cember denir Cember uzerindeki tum noktaların koordinatları arasındaki bağıntıya da cemberin denklemi diyoruz Bir cember, merkezi ve yarıcapı ile belli olduğundan, analitik duzlemde merkezi m(a,b), yarıcap uzunluğu r olan bir cemberin denklemini bulalım:
Cember uzerinde bir nokta P(x,y) ise,
|MP| r dir İki nokta arasındaki uzaklık formulunden;
|MP| (xa)2yb)2 r
(xa)2yb)2 r2
Bu bağıntıya, merkezinin koordinatları M(a,b), yarı capı r olan cemberin denklemi denir
Ornek:
Merkezinin koordinatları; M(2,3) ve yarıcap uzunluğu, r 5 birim olan cemberin denklemini yazınız
Cozum:
M(2,3) a 2, b 3 ve r 5 brim ise,
(xy)2yb)2 r2 (x+2)2(8y3)2 25 bulunur
Merkezli Cemberin Denklemi
Bir cemberin merkezi orijinde ise, merkezin koordinatları M(0,0) dır Yarıcap uzunluğu r, merkezi M(0,0) olan cemberin bu eğerleri, (xa)2yb)2 r2 denkleminde yerlerine yazılırsa, x2+y2 r2 denklemi elde edilir Bu denkleme, yarıcap uzunluğu r olan merkezil cemberin denklemi denir
Ornek:
Bir merkezil cember uzerinde, herhangi bir nokta A(3,4) ise, bu cemberin denklemini bulunuz
Cozum:
Merkezil cemberin denklemi, x2+y2 r2 olduğundan, a(3,4) noktası bu denklemi sağlar Buna gore,
x 3 ve y 4 (3)2+42 r2
9+16 r2 r 5 bulunur Oyleyse, aradığımız denklem x2+y2 25 bulunur
Merkezleri Eksenler Uzerinde veya Eksenlere Teğet Cemberlerin Denklemleri
1 Merkezi x ekseni uzerinde olan cemberin denklemi:
a 0 ve b 0 dır
M(0,b) (xa)2 + y2 r2 olur
2 Merkezi y ekseni uzerinde olan cemberin denklemi:
a 0 ve b 0 dır
M(0,b) x2 + (yb)2 r2 olur
3 x eksenine teğet olan cemberin denklemi:
|b| r ise M(a,r)
(xa) 2+ (yr)2 r2 olur
y
M(a,r)
O a x
4 y eksenine teğet olan cemberin denklemi;
|a| r ise, M(r,b)
(xr)2 + (yb)2 r2 olur
y
b
M(r,b)
x
5 Her iki eksene teğet cemberin denklemi:
Eksenlere I ve III bolgede teğet cemberlerin merkezleri, y x denklemi ile verilen doğru (I Acıortay) uzerinde; eksenlere II ve IV bolgede teğet cemberlerin merkezleri de denklemi y x olan doğru (II acıortay ) uzerinde bulunur
y y
y x
M1 M2
O x O x
M3 M4
y x
M1 (r,r) (xr)2 + (yr)2 r2 M2 (r,r) (x+r)2 + (yr)2 r2
M3 (r,r) (x+r)2 + (y+r)2 r2 M4 (r,r) (xr)2 + (y+r)2 r2
alıntı