Cokkatlı Nedir Cokkatlı Konu Anlatım
Cokkatlı Nedir Cokkatlı Konu Anlatım Geometri Cokkatlı
Cokkatlı (Alm Mannigfaltigkeit, İng manifold, Fr variété), topolojide soyut topolojik bir uzay Bu uzayın her noktasının cevresi Oklit uzayına benzer Bununla birlikte, bir cokkatlı bir Oklit uzayı olmak zorunda değildir Genel yapısı, bu basit yerel yapısından cok daha karmaşık olabilir Cokkatlının boyutu, yerel olarak benzediği Oklit uzayının boyutu olarak tanımlanır Herhangi bir topolojik uzay icinse boyut kavramından soz etmek genelde olası değildir
n boyutlu Oklit uzayı (Rn), n boyutlu bir cokkatlıdır Birkac nokta, 0 boyutlu bir cokkatlıdır Duzlemde bir doğru 1 boyutlu bir cokkatlıdır; her noktasının cevresi R1'e benzer R3'te bir duzlem ya da bir kure, 2 boyutlu cokkatlı orneğidir; her bir noktasının kume icinde cevresi R2'ye benzer
Sozcuğun kokeni
Cokkatlı sozcuğunun Almanca karşılığı Mannigfaltigkeittır (cokyonluluk, ceşitlilik vs) Bu terim, ilk kez Riemann Habilitation metninde (1854) kullanmıştır Yerel olarak n boyutlu uzaya benzeyen ama her noktasında farklı eğriliklere sahip olabilecek bir uzay tasarlamış ve bu tur bir uzaya Mannigfaltigkeit adını vermiştir Habilitation'unda şu satırları okumakta yarar var:
“ n katlı uzamın (nfold extent) bir noktasındaki eğriliğine kavranabilir bir anlam verebilmek icin şuradan başlamalıyız: bir noktadan başlayan bir jeodezik, ilk yonu verildiğinde tek bir bicimde tarif edilmiş olur Buna gore, o noktadan ve verilen yuzeyyonleriyle başlayan tum jeodezikler gozonune alındığında, yuzeyin o noktasında bir eğrilik belirlenmiş olur Bu eğrilik, aynı zamanda icinde bulunulan n katlı surekliliğin (nfold continuum) o noktada o yuzey yonunde eğriliğidir
Uzaya uyarlamadan once, duz cokkatlılar (flat manifoldness) hakkında genel saptamalar yapmak gerekiyor Duz bir n katlı uzamda toplam eğrilik her noktada her yonde sıfırdır Eğriliği tamamen sıfır olan cokkatlılar, eğriliği sabit olan cokkatlıların ozel bir durumu diye duşunulebilir
Gorulduğu gibi Riemann bu terimi yaratırken, daha sonra Riemann Geometrisi diye anılacak geometriyi kuruyordu Kullandığı Faltig sozcuğu, kat kat hissinden cok eğriliğin değişmesi yuzunden uzamın bukulup kırışmasına işaret ediyordu William Kingdon Clifford 1873'te Nature'da yayınlanan cevirisinde bu sozcuğu manifoldnessolarak karşılamıştır 2 Turkce'ye ceviri bu sozcuk uzerinden yapılmıştır
Fransızca variété terimiyse, (İngilizce'deki variety terimi gibi) cebirsel geometride analitik cokkatlılara işaret eder
Matematiksel tanım
(Kenarı olmayan) n boyutlu cokkatlı, aşağıdaki koşulları sağlayan bir topolojik uzaydır:
* Hausdorff'tur;
* Herhangi bir noktasının cevresinde oyle bir acık komşuluk bulunabilir ki bu komşuluk Rn'nin acık bir alt kumesine homeomorfiktir;
* (Kimi tanımlarda) İkinci sayılabilirlik ozelliğini sağlar;
* (Kimi tanımlarda) Parakompakttır
Yukarıki tanımda ikinci koşulda Rn yerine, ust yarı Oklit uzayını (yani Rn'de sonuncu koordinatı negatif olmayan noktaların kumesi) temsil etmek uzere Hn konduğunda, bu tanım, kenarı olan (kenarlı) topolojik bir cokkatlı tanımına donuşur Bu durumda ikinci koşulda homeomorfizma sozcuğunun anlamlı olabilmesi icin Hn uzerinde bir topoloji bulunması gerekir Bu topoloji standart olarak Rn'den tetiklenen topolojidir M cokkatlısının bir noktası x, Hn'de acık V kumesine homeomorfik x 'in acık komşuluğu U olsun Bu homeomorfizma altında x, V 'nin kenarına gonderiliyorsa, x noktasına cokkatlının kenar noktası, tum kenar noktaların kumesine cokkatlının kenarı denir
Orneğin, duzlemde başnoktaya uzaklıkları 1'den buyuk olmayan kumeyi ele alalım Bu kumeye (kapalı) disk denir ve 2 boyutlu bir cokkatlıdır Kenarı bir cemberdir Cember 1 boyutlu bir cokkatlıdır Kenarı yoktur
n boyutlu, kenarlı bir cokkatlının kenarı, n1 boyutlu bir cokkatlıdır Bir cokkatlının kenarının kenarı yoktur (boşkumedir)
Bir cokkatlının icinde bir topolojik altuzay aynı zamanda bir cokkatlıysa, bu altuzaya altcokkatlı denir Yukarıda bir cokkatlının icinde verilen tum cokkatlılar altcokkatlı ornekleridir
Cokkatlı Nedir Cokkatlı Konu Anlatım Geometri Cokkatlı
Cokkatlı (Alm Mannigfaltigkeit, İng manifold, Fr variété), topolojide soyut topolojik bir uzay Bu uzayın her noktasının cevresi Oklit uzayına benzer Bununla birlikte, bir cokkatlı bir Oklit uzayı olmak zorunda değildir Genel yapısı, bu basit yerel yapısından cok daha karmaşık olabilir Cokkatlının boyutu, yerel olarak benzediği Oklit uzayının boyutu olarak tanımlanır Herhangi bir topolojik uzay icinse boyut kavramından soz etmek genelde olası değildir
n boyutlu Oklit uzayı (Rn), n boyutlu bir cokkatlıdır Birkac nokta, 0 boyutlu bir cokkatlıdır Duzlemde bir doğru 1 boyutlu bir cokkatlıdır; her noktasının cevresi R1'e benzer R3'te bir duzlem ya da bir kure, 2 boyutlu cokkatlı orneğidir; her bir noktasının kume icinde cevresi R2'ye benzer
Sozcuğun kokeni
Cokkatlı sozcuğunun Almanca karşılığı Mannigfaltigkeittır (cokyonluluk, ceşitlilik vs) Bu terim, ilk kez Riemann Habilitation metninde (1854) kullanmıştır Yerel olarak n boyutlu uzaya benzeyen ama her noktasında farklı eğriliklere sahip olabilecek bir uzay tasarlamış ve bu tur bir uzaya Mannigfaltigkeit adını vermiştir Habilitation'unda şu satırları okumakta yarar var:
“ n katlı uzamın (nfold extent) bir noktasındaki eğriliğine kavranabilir bir anlam verebilmek icin şuradan başlamalıyız: bir noktadan başlayan bir jeodezik, ilk yonu verildiğinde tek bir bicimde tarif edilmiş olur Buna gore, o noktadan ve verilen yuzeyyonleriyle başlayan tum jeodezikler gozonune alındığında, yuzeyin o noktasında bir eğrilik belirlenmiş olur Bu eğrilik, aynı zamanda icinde bulunulan n katlı surekliliğin (nfold continuum) o noktada o yuzey yonunde eğriliğidir
Uzaya uyarlamadan once, duz cokkatlılar (flat manifoldness) hakkında genel saptamalar yapmak gerekiyor Duz bir n katlı uzamda toplam eğrilik her noktada her yonde sıfırdır Eğriliği tamamen sıfır olan cokkatlılar, eğriliği sabit olan cokkatlıların ozel bir durumu diye duşunulebilir
Gorulduğu gibi Riemann bu terimi yaratırken, daha sonra Riemann Geometrisi diye anılacak geometriyi kuruyordu Kullandığı Faltig sozcuğu, kat kat hissinden cok eğriliğin değişmesi yuzunden uzamın bukulup kırışmasına işaret ediyordu William Kingdon Clifford 1873'te Nature'da yayınlanan cevirisinde bu sozcuğu manifoldnessolarak karşılamıştır 2 Turkce'ye ceviri bu sozcuk uzerinden yapılmıştır
Fransızca variété terimiyse, (İngilizce'deki variety terimi gibi) cebirsel geometride analitik cokkatlılara işaret eder
Matematiksel tanım
(Kenarı olmayan) n boyutlu cokkatlı, aşağıdaki koşulları sağlayan bir topolojik uzaydır:
* Hausdorff'tur;
* Herhangi bir noktasının cevresinde oyle bir acık komşuluk bulunabilir ki bu komşuluk Rn'nin acık bir alt kumesine homeomorfiktir;
* (Kimi tanımlarda) İkinci sayılabilirlik ozelliğini sağlar;
* (Kimi tanımlarda) Parakompakttır
Yukarıki tanımda ikinci koşulda Rn yerine, ust yarı Oklit uzayını (yani Rn'de sonuncu koordinatı negatif olmayan noktaların kumesi) temsil etmek uzere Hn konduğunda, bu tanım, kenarı olan (kenarlı) topolojik bir cokkatlı tanımına donuşur Bu durumda ikinci koşulda homeomorfizma sozcuğunun anlamlı olabilmesi icin Hn uzerinde bir topoloji bulunması gerekir Bu topoloji standart olarak Rn'den tetiklenen topolojidir M cokkatlısının bir noktası x, Hn'de acık V kumesine homeomorfik x 'in acık komşuluğu U olsun Bu homeomorfizma altında x, V 'nin kenarına gonderiliyorsa, x noktasına cokkatlının kenar noktası, tum kenar noktaların kumesine cokkatlının kenarı denir
Orneğin, duzlemde başnoktaya uzaklıkları 1'den buyuk olmayan kumeyi ele alalım Bu kumeye (kapalı) disk denir ve 2 boyutlu bir cokkatlıdır Kenarı bir cemberdir Cember 1 boyutlu bir cokkatlıdır Kenarı yoktur
n boyutlu, kenarlı bir cokkatlının kenarı, n1 boyutlu bir cokkatlıdır Bir cokkatlının kenarının kenarı yoktur (boşkumedir)
Bir cokkatlının icinde bir topolojik altuzay aynı zamanda bir cokkatlıysa, bu altuzaya altcokkatlı denir Yukarıda bir cokkatlının icinde verilen tum cokkatlılar altcokkatlı ornekleridir