İki sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını hesaplama sistemini milattan evvel 300’lü yıllarda Öklid, 'Elementler' isimli yapıtında paylaşmıştır. Bu yola 'Öklit Algoritması' deniyor ama buradan türetilmiş daha kolay hesaplama yolları de mevcut.
Genellikle sayıları asal çarpanlarına ayırıp, akabinde duruma nazaran uygun çarpanları seçerek istersek EBOB’u ya da EKOK’u hesaplayabiliyoruz. Gerçek dünya’da bir işe yaramayacaklarmış üzere gözükse de, dokumacılık üzere pek çok farklı dalda kullanılabiliyor. Gelin artık EBOB ve EKOK nedir, nasıl hesaplanır birlikte bakalım.
EBOB Nedir?
En büyük ortak bölen, iki yahut daha fazla sayının en büyük ortak bölenini tabir eder. Hesaplamak için kullanılabilecek iki tanınan metot vardır. Bir tanesi Öklidin Elementler’de tabir ettiği Öklid algoritması, ikincisi ise kısmen daha kolay ve daha sık kullanılan bir metot.
Herhangi iki sayının EBOB'unu 'EBOB()' halinde gösterelim. Öklid algoritması rastgele iki sayı üzerinde çalışan bir algoritmadır. Elinizde a ve b sayıları varken üç durumdan kelam edebiliriz.
- 1. Durum: a ve b sayısı birbirine eşittir (a=b)
- 2. Durum: a sayısı b sayısından büyüktür (a>b)
- 3. Durum: b sayısı a sayısından büyüktür (b>a)
Diğer herhangi bir durumda büyük olan sayıyı küçük olana böler, kalan bedel sıfır olana dek küçük sayı ile bölmeye devam ederiz. Artık a, b’den büyükken şayet a ile b nin kısmından kalan c ve c sıfırdan farklı ise, bu sefer b ile c yi bölüyoruz ve kalanına bakıyoruz. Şayet sıfır değilse c ile bu sayıyı bölerek süreçlere devam ediyoruz. Kalan 0 olduğu vakit bulduğumuz küçük bölen, başlangıçtaki iki sayının EBOB’u oluyor.
EBOB nasıl hesaplanır?
- Yöntem #1: Öklit algoritması ile hesaplama
- Yöntem #2: Çarpanlarına ayırarak hesaplama
- Adım 1#: Bölerek başlama
- Adım 2#: 0'a ulaşana kadar bölme işlemi
Adım 1#: Bölerek başlama
28 ile 16’yı böldüğümüzde kalan 12 oluyor, sıfırdan farklı olduğu için devam ediyoruz
Adım 2#: 0'a ulaşana kadar bölmeye devam etmek
16 ile 12'yi böldüğümüzde kalan sayı 4 oluyor hala sıfırdan büyük olduğu için devam ediyoruz. Son basamakta ise elimizdeki sayı 12 ve 4 oluyor. Bunların kısmında ise elimizde kalan 0 oluyor. Bu durumda 4 sayısı 28 ve 16'nın EBOB'u oluyor. Yani EBOB (28, 16)=4
Yöntem #2: Çarpanlarına ayırarak hesaplama:
- Adım 1#: Asal çarpanlarına ayırmak
- Adım 2#: Ortak olan asal çarpanları seçmek
Elimizdeki sayıar 28 ve 16’yı birinci olarak asal çarpanlarına ayıralım.
Adım 2#: Ortak olan asal çarpanları seçmek ve bulunan ortak sayıları çarpmak
Şimdi ortak olan asal çarpanları seçelim, iki sayıda da 2 adet 2’nin ortak olduğunu görüyoruz. Bu sayıları çarparak en büyük ortak bölenlerini elde etmiş oluruz. Alışılmış ki yanıt yeniden 4 olur.
Peki EKOK nedir?
En küçük ortak kat, verilen iki yahut daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmamıza imkan sağlıyor. Hesaplamada yeniden asal çarpanlardan yararlanabileceğimiz üzere, iki sayının en büyük ortak bölenini kullanarak da EKOK hesaplayabiliyoruz.
Birinci metotta asal çarpanları sıralayarak başlıyoruz. Akabinde ortak çarpanları birer kez yazıp, ortak olmayanları da dahil ederek çarpma yapıyoruz ve sonuca ulaşıyoruz. İkinci metotta ise elimizdeki iki sayıyı çarpıp mutlak bedel içerisine alıyoruz. Akabinde sonucu bu iki sayının EBOB'una bölerek EKOK’a ulaşmış oluyoruz. Artık bunlara ayrıntılıca bakalım.
EKOK nasıl hesaplanır?
- Yöntem #1: Asal çarpanları kullanarak EKOK hesaplama
- Yöntem #2: Asal çarpanları üslerle söz ederek EKOK hesaplama
- Adım 1#: 28 ve 16'yı asal çarpanlarına ayırma
- Adım 2#: Birebir olan çarpanlardan birer tane almak ve sonuca ulaşma
EBOB anlatımında yapıldığı üzere tıpkı biçimde 28 ve 16'yı asal çarpanlarına ayırıyoruz
Adım 2#: Tıpkı olan çarpanlardan birer tane almak ve sonuca ulaşmak
Şimdi birebir olan çarpanlardan birer adedini alacağız, siyah işaretli ikiler her iki sayının da çarpanı olduğundan birer kere alınacaklar. Bunlar dışındaki çarpanlar da direkt olarak eklenecek. Bu durumda EKOK (28, 16)=7x2x2x2x2=112 olarak hesaplanıyor.
Bu metotta dikkat etmemiz gereken nokta ortak asal çarpanlardan yalnızca birer adedini çarpmaya ekliyor olmamız. Siyah daire içindeki 2’lerden her iki sayının çarpanlarında da olduğu için onlardan birer adedini sürece ekliyoruz. Böylece 4 adet 2 ve bir adet 7 yi çarparak sonuca ulaşabiliyoruz.
Yöntem #2: Asal çarpanları üslerle söz ederek EKOK hesaplama:
- Adım 1#: Asal çarpanları belirlemek
- Adım 2#: Belirlenen sayıları üslü sayılar halinde düzenlemek
- Adım 3#: Kuvveti en yüksek olanlar ile çarpmak
Adım 1#: Asal çarpanları belirlemek
Yukarıdaki örneklerde verildiği üzere birebir formda 28 ve 16'yı asal çarpanlarına ayırıyoruz.
Adım 2#: Belirlenen sayıları üslü sayılar halinde düzenlemek
Asal çarpanlarına ayırdıktan sonra belirlediğimiz sayıları üstlü sayılar hailne getiriyoruz.
Adım 3#: Kuvveti en yüksek olanlar ile çarpmak
Buradaki çarpanlar ortasında kuvveti en yüksek olanları alıp çarpacağız. Yani 7’nin kuvveti 1 olduğundan 7 üzeri 1, 2’nin en yüksek kuvveti 4 olduğundan 2 üzeri 4 ü çarpıma ekleyeceğiz. Süreci yaptığımızda karşılık 112 bulunuyor:
EBOB ve EKOK hesaplama araçları:
EBOB ve EKOK'un nasıl hesaplanacağını üstte belirttik. Ne kadar kendi elimizle yapacağımız yollar olsa da, bu hesaplamaları bizim yerimize yapan uygulamalar da mevcut. Bu uygulamalar genel manada kullanımı fiyatsız ve bir birçoklarına internet üzerinden basitçe erişebiliyorsunuz. İnternet sitelerinin yanı sıra taşınabilir cihazlarınızdan da EBOB ve EKOK hesaplayacak uygulamalara çok rahat bir halde erişebilirsiniz.
Andorid için EBOB ve EKOK hesaplama araçları:
İOS için EBOB ve EKOK hesaplama araçları:
iOS mağazasında bulabileceğiniz uygulamalar maalesef Android'deki kadar çeşitli değil ve uygulamanın kendisi paralı. Ama yinede örnek olarak vermek istedik.