Matematik Nedir, Ne Değildir?
İnsanlar arasındaki bir takım gereksinmelerden matematik doğmuştur Tarihi incelersek; ilk çağlarda bile bugün bilgisayarlarda kullanılan ikili sistemin Mısır aritmetiğinde kullanıldığını görürüz Yine o çağlarda dairenin çevresini, Nil Nehri'nin taşma zamanlarını saptamak için mevsimleri ve böylece 365 günü içeren takvimlerin hazırlandığını belirleriz Başka ülkelerin bilimlerini inceleyen yunanlılarda ilk köklü bilgileri mısırlılardan öğrenmiş oldular Yine geçerliliğini her zaman koruyan 'Bir dik açılı üçgenin uzun kenarının karesinin, öteki iki kenarın kareleri toplamına eşit olduğunu' belirten ünlü Pisagor Teoremi MÖ 570 yıllarında kanıtlanmıştır Hintliler bugün de tüm dünyada kullanılan 0 ıda içeren onluk sayı sistemini kurmuşlardır En büyük Arap matematikçisi ElHarizmi (780850) cebirin kurucusudur Orta çağ Avrupa matematiği bu bilginin eserlerinden oluşmaktadır Araplar dünyaya eski ve çağdaş bilim konusunda eşsiz hizmette bulundular Hint ve Çin buluşlarını dünyaya tanıttılar Ancak modern bilimin kurucusu olamadılar
Tüm ilkel toplumlarda ticaret takastan öte bir nitelik kazanır kazanmaz sayı ve ölçü kavramları gelişti Sayı kavramı matematiğin temelini oluşturur Sayılar çiftçilerin ürünlerini sayma gereksinmesinden doğmuştur Sayılar alışverişi de olanaklı kılan para sistemlerinin ortaya çıkmasına yol açmıştır Daha sonra yunanlılar matematiksel usa vurmayı mantıksal bir temele oturtarak ve böylece kendilerini kanıtlayıcı olmayan önermelerin, temel varsayımlardan çıkarılabilmesini sağlayarak matematiği kesin bir bilim dalı haline getirdiler Ayrıca müzik ve resimle ilişkiler kurarak mantıksal düşünüşlerini sanatları da içerecek biçimde genişlettiler Fakat matematik 16 yüzyıla dek pek fazla gelişmedi Günümüzde tüm dünya eşi görülmemiş bir değişim yaşamaktadır
İnsanlar günlük yaşamda sık sık aritmetikten yararlanmakla birlikte üzerinde hemen hemen hiç düşünmezler Örneğin; günlük dilde kullandığımız bir çok sözcüğün anlamını da pek bilmeyiz Sorulursa şaşırırız, bocalarız Aslında düşünmeden yaptığımız bir çok davranışın nedenlerini de araştırmayız Herhangi bir şey satın alan biri ödediği ücreti ve geri aldığı para üstünü sayarken ticaretin başladığı dönemden beri kullanılan bilgileri kullandığını fark etmez bile, temel toplama ve eşitlik kavramlarını kullandığını düşünmez
Aritmetiğin dört temel işlemi vardır Bunlar toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedir Bu dört temel kural yaşamın her safhasında geçerliliğini yitirmez Okullarımızda birkaç yıldan beri matematik dersleri öğretim programları Modern Matematik adıyla okutulmaktadır Neden Modern Matematik denildiğini bir türlü anlayamıyorum Tüm öğrenciler, veliler buna tepki gösteriyor Tepkinin en fazlası ise 'çocuklarımız dört işlemi öğrenemiyorlar' savınadır Oysa bu sav tümüyle yanlış Dört işlem de öğretiliyor yaşam için gereksinim duyulan tüm konular da Öğrencinin sınıfları değiştikçe konuları da değişecektir Matematikte gelişerek devam edecektir Her şeyden önemlisi içinde yaşadığımız dünyada bilim, teknik geliştikçe bizde bu değişime ayak uyduracağız Değişimleri eğitim yaşantımıza uygulamak zorundayız Dün 20 yüzyıldı bugün 21 yüzyıl Dün daktilo ile yazıyorduk, bugün bilgisayarla ve dünya parmaklarımızın ucunda
Biz tekrar dört işleme dönelim Bunların bir çoğu sadece sağduyu yoluyla ortaya konmuş olan temel yasalar izlenerek yapılır Değişme özeliği hem toplamada hem çarpmada vardır Bu yasa yalnızca 7 ile 5 in toplama örneğinde olduğu gibi 7+5 ya da 5 ile toplama örneğindeki 5+7 nin toplamına eşit olduğunu söyler Başka bir deyişle sayıları toplama sırası önemli değildir Aynı özelik çarpma işleminde de vardır 4x3 çarpma işlemi 3x4 olarak gösterilirse sonuç değişmez Bu bize matematik programının değişmesiyle matematiğe çağdaş bir boyut kazandırdığımızı anlatıyor Bu boyut matematiğe giren yorumdur 2x2 her zaman 4 değildir Çok eskiden televizyonda zevkle izlediğimiz bir dizi vardı'Gökyüzü Prensleri' Adım adım uçağın evrimini anlatmaktaydı Burada uçağı evrimleştirenlerin nasıl uğraş verdiklerini izledik Matematiği kullanarak önce kağıt üzerinde uçağın modelini yaptılar Yaptıkları matematik işlemleri ile uçağın havada ne kadar kalacağını hesapladılar Bu bizim matematikte yaptığımız birebir eşleme yöntemidir Aslında eşelemeye çok daha tanıdık bir çok örnek verebiliriz Harita dünya üzerindeki noktalarla birebir eşlemedir Dikkat ettiniz mi? Konuşmaya yeni başlayan bir çocuk elinin parmaklarıyla evdeki insanları eşleyerek sayar Alışveriş yaptığımızda parayla, aldığımız malı eşleriz
Sayı kavramı matematiğin temel bir kavramıdır demiştik Oysa sayı yaşamın temel bir kavramıdır Tek ile çok arasındaki kavramı çocuk çok iyi kavrar Deniz kıyısında bir çok çakıl taşı gören bir çocuk bunların arasından sadece bir tane alabilir Bir avuç aldığı zaman toplamdan az ama bir taneden fazla aldığını bilir Kaç taşa sahip olduğu konusunda bir fikir edinebilmek için elindeki taşları sayar Örneğin 15 kalem Burada '15' adet bildirmektedir 15 t0p, 15 martı, 15 ekmek gibi Sayılabilecek tüm cisimlerin ortak bir özeliğidir Yetişkin insanlar bir çok temel kavramı anlamakta zorluk çekerler ama çocuklar yaşamlarının ilk evrelerinde bu kavramlar konusunda sezgisel bir anlayışa sahiptirler Her aile bir kümedir Anne, baba ve çocuklar Bir çok ailenin oluşturduğu kümeler topluluğu evrensel kümeyi oluşturur Her aile alt parçalara ayrılabilir Bunlara alt kümeler denir İki küme kesişebilir veya birleşebilir Oluşan yeni kümelere kesişim veya birleşim kümeleri denir Küme işlemlerindeki kesişim ve birleşim, mantıktaki niceleyicilerin karşılığıdır Bu ilişki kümelerdeki bazı önermelerin mantıksal önermelerle ifade edilmesini mümkün kılar Öyleyse matematik çağdaş yaşamla iç içedir Her zaman moderndir Biri diğerinden soyutlanamaz
Ölçme bugün yaşamımızda büyük bir yer tutar Fizik dersinde yaptığımız aynı deneyin sonuçlarının farklı gruplarının farklı ölçülerle değerlendirildiğini görürüz Bu o deneydeki geçerliliği mi kanıtlar? Hayır sadece ölçmede farklılıklar vardır 'Burada en doğru ölçümü kim yapmıştır?' diye sorabiliriz Yanıt ' Tüm öğrencilerdir' Farklılık ölçü aletlerinin kullanılış biçiminde kaynaklanmış olabilir Yeri gelmişken kimin yazdığını bilmediğim bir öyküyü anlatmadan geçemeyeceğim Dört kişiden biri kimyacı, biri fizikçi, biri matematikçi ve bir diğeri de insan bilimcidir Her birine birer barometre verilerek bir kilise kulesinin yüksekliğini ölçmeleri söyleniyor Kimyacı gazlar konusunda her şeyi biliyordu Kulenin altındaki ve üstündeki hava basınçlarını ölçtü (060) metre arasında dedi Fizikçi pahalı araçları umursamazca kullanmaya alışkındı Barometresini kuleden aşağı attı ve düşüş süresini ölçerek yüksekliği (2227) metre arasında hesapladı Matematikçi kulenin gölgesinin uzunluğunu barometrenin uzunluğu ile karşılaştırdı ve (3030,5) metre arasında dedi İnsan bilimci ise barometreyi sattı elde ettiği parayla kilisenin zangocuna birkaç kadeh içki ısmarladı Ve kule yüksekliğinin 30,4 metre olduğunu öğrendi Bu öyküden de anlaşılacağı gibi değişik ölçmelerin değişik sonuçlar vereceği ortadadır Modern dünyada yaşam büyük ölçüde insanın kesin ölçümler yapabilme yeteneğine bağlıdır Dünyanın çeşitli yerlerinde ölçümler için uzunluk, zaman, kütle, gerilim ve bir çokları için standart ölçü birimleri kullanılır Bunun sonucu olarak Japonya'da yapılan bir mil yatağı beş yıl önce Almanya'da yapılmış olan bir motor miline tıpatıp uyabilir
Sümerler bir elin parmakları olan 10 sayısını ve onluk sayma sistemini kullanmışlardır 12 aralığını bularak zamanı saatle, 60 sayısından yararlanarak zamanı ölçen saati, dakikayı, saniyeyi bulmuşlardır Hiçbir şey birden ortaya çıkmamıştır Ama matematik bir gereksinmedir Yaşamın bir parçasıdır Yaşamın her evresi matematiktir Doğru düşünme kurallarını öğretir Düşünce ile somut kavramlar arasında bağıntı kurar Sosyal ve bilimsel gelişme sürecini çabuklaştırır İnsan zekasını geliştirir Bunun en yakın örneği; 10 yaşındaki bir öğrencinin bir üniversitenin matematik bursunu kazanmasıdır Aslında her çocuk doğduğunda bir harikadır Onu işlemek yaşamın en ileri seviyesine götürmek eğitmek güç iştir Kendimizden vermeden, sürekli alarak hem matematik hem de hiçbir şey öğretilemez Başarılı olmak değil, öğrenmek bile mümkün değildir Matematik tüm yaşamdır Yaşamı seviyoruz, öyleyse matematiği de sevmeliyiz önermesinin doğruluk değeri daima 1 olmalıdır Gelişen, değişen, hem de hızla değişen dünyaya seyirci kalamayız
Büyük insan önderimiz Atatürk matematiği dilimizde daha anlaşılır bir biçime getirmiştir Ona yaşamımızı borçluyuz Bizzat kendisi matematikte kullanılan terimlerin adlarını bizim anlayabileceğimiz günlük konuşma dilimize çevirmiştir Bugün doğru düşünebiliyorsak onun sayesindedir İleriyi gören bakışları sayesinde bizi uygarlık seviyesinin üstüne çıkarmıştır Bugün bilimin her dalında araştırma yapıp dünyaya kendini kanıtlamış bilim adamlarımız vardır Ulusumuzu, vatanımızı her şeyden önemlisi insanlarımızı severek sürdürdüğümüz eğitim ve öğretimimizde her an öğrenmeğe araştırmaya ve uygar olmaya özen göstermeliyiz Matematik yaşamın kendisidir
kaynakbilgi amaçlıdır
İnsanlar arasındaki bir takım gereksinmelerden matematik doğmuştur Tarihi incelersek; ilk çağlarda bile bugün bilgisayarlarda kullanılan ikili sistemin Mısır aritmetiğinde kullanıldığını görürüz Yine o çağlarda dairenin çevresini, Nil Nehri'nin taşma zamanlarını saptamak için mevsimleri ve böylece 365 günü içeren takvimlerin hazırlandığını belirleriz Başka ülkelerin bilimlerini inceleyen yunanlılarda ilk köklü bilgileri mısırlılardan öğrenmiş oldular Yine geçerliliğini her zaman koruyan 'Bir dik açılı üçgenin uzun kenarının karesinin, öteki iki kenarın kareleri toplamına eşit olduğunu' belirten ünlü Pisagor Teoremi MÖ 570 yıllarında kanıtlanmıştır Hintliler bugün de tüm dünyada kullanılan 0 ıda içeren onluk sayı sistemini kurmuşlardır En büyük Arap matematikçisi ElHarizmi (780850) cebirin kurucusudur Orta çağ Avrupa matematiği bu bilginin eserlerinden oluşmaktadır Araplar dünyaya eski ve çağdaş bilim konusunda eşsiz hizmette bulundular Hint ve Çin buluşlarını dünyaya tanıttılar Ancak modern bilimin kurucusu olamadılar
Tüm ilkel toplumlarda ticaret takastan öte bir nitelik kazanır kazanmaz sayı ve ölçü kavramları gelişti Sayı kavramı matematiğin temelini oluşturur Sayılar çiftçilerin ürünlerini sayma gereksinmesinden doğmuştur Sayılar alışverişi de olanaklı kılan para sistemlerinin ortaya çıkmasına yol açmıştır Daha sonra yunanlılar matematiksel usa vurmayı mantıksal bir temele oturtarak ve böylece kendilerini kanıtlayıcı olmayan önermelerin, temel varsayımlardan çıkarılabilmesini sağlayarak matematiği kesin bir bilim dalı haline getirdiler Ayrıca müzik ve resimle ilişkiler kurarak mantıksal düşünüşlerini sanatları da içerecek biçimde genişlettiler Fakat matematik 16 yüzyıla dek pek fazla gelişmedi Günümüzde tüm dünya eşi görülmemiş bir değişim yaşamaktadır
İnsanlar günlük yaşamda sık sık aritmetikten yararlanmakla birlikte üzerinde hemen hemen hiç düşünmezler Örneğin; günlük dilde kullandığımız bir çok sözcüğün anlamını da pek bilmeyiz Sorulursa şaşırırız, bocalarız Aslında düşünmeden yaptığımız bir çok davranışın nedenlerini de araştırmayız Herhangi bir şey satın alan biri ödediği ücreti ve geri aldığı para üstünü sayarken ticaretin başladığı dönemden beri kullanılan bilgileri kullandığını fark etmez bile, temel toplama ve eşitlik kavramlarını kullandığını düşünmez
Aritmetiğin dört temel işlemi vardır Bunlar toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedir Bu dört temel kural yaşamın her safhasında geçerliliğini yitirmez Okullarımızda birkaç yıldan beri matematik dersleri öğretim programları Modern Matematik adıyla okutulmaktadır Neden Modern Matematik denildiğini bir türlü anlayamıyorum Tüm öğrenciler, veliler buna tepki gösteriyor Tepkinin en fazlası ise 'çocuklarımız dört işlemi öğrenemiyorlar' savınadır Oysa bu sav tümüyle yanlış Dört işlem de öğretiliyor yaşam için gereksinim duyulan tüm konular da Öğrencinin sınıfları değiştikçe konuları da değişecektir Matematikte gelişerek devam edecektir Her şeyden önemlisi içinde yaşadığımız dünyada bilim, teknik geliştikçe bizde bu değişime ayak uyduracağız Değişimleri eğitim yaşantımıza uygulamak zorundayız Dün 20 yüzyıldı bugün 21 yüzyıl Dün daktilo ile yazıyorduk, bugün bilgisayarla ve dünya parmaklarımızın ucunda
Biz tekrar dört işleme dönelim Bunların bir çoğu sadece sağduyu yoluyla ortaya konmuş olan temel yasalar izlenerek yapılır Değişme özeliği hem toplamada hem çarpmada vardır Bu yasa yalnızca 7 ile 5 in toplama örneğinde olduğu gibi 7+5 ya da 5 ile toplama örneğindeki 5+7 nin toplamına eşit olduğunu söyler Başka bir deyişle sayıları toplama sırası önemli değildir Aynı özelik çarpma işleminde de vardır 4x3 çarpma işlemi 3x4 olarak gösterilirse sonuç değişmez Bu bize matematik programının değişmesiyle matematiğe çağdaş bir boyut kazandırdığımızı anlatıyor Bu boyut matematiğe giren yorumdur 2x2 her zaman 4 değildir Çok eskiden televizyonda zevkle izlediğimiz bir dizi vardı'Gökyüzü Prensleri' Adım adım uçağın evrimini anlatmaktaydı Burada uçağı evrimleştirenlerin nasıl uğraş verdiklerini izledik Matematiği kullanarak önce kağıt üzerinde uçağın modelini yaptılar Yaptıkları matematik işlemleri ile uçağın havada ne kadar kalacağını hesapladılar Bu bizim matematikte yaptığımız birebir eşleme yöntemidir Aslında eşelemeye çok daha tanıdık bir çok örnek verebiliriz Harita dünya üzerindeki noktalarla birebir eşlemedir Dikkat ettiniz mi? Konuşmaya yeni başlayan bir çocuk elinin parmaklarıyla evdeki insanları eşleyerek sayar Alışveriş yaptığımızda parayla, aldığımız malı eşleriz
Sayı kavramı matematiğin temel bir kavramıdır demiştik Oysa sayı yaşamın temel bir kavramıdır Tek ile çok arasındaki kavramı çocuk çok iyi kavrar Deniz kıyısında bir çok çakıl taşı gören bir çocuk bunların arasından sadece bir tane alabilir Bir avuç aldığı zaman toplamdan az ama bir taneden fazla aldığını bilir Kaç taşa sahip olduğu konusunda bir fikir edinebilmek için elindeki taşları sayar Örneğin 15 kalem Burada '15' adet bildirmektedir 15 t0p, 15 martı, 15 ekmek gibi Sayılabilecek tüm cisimlerin ortak bir özeliğidir Yetişkin insanlar bir çok temel kavramı anlamakta zorluk çekerler ama çocuklar yaşamlarının ilk evrelerinde bu kavramlar konusunda sezgisel bir anlayışa sahiptirler Her aile bir kümedir Anne, baba ve çocuklar Bir çok ailenin oluşturduğu kümeler topluluğu evrensel kümeyi oluşturur Her aile alt parçalara ayrılabilir Bunlara alt kümeler denir İki küme kesişebilir veya birleşebilir Oluşan yeni kümelere kesişim veya birleşim kümeleri denir Küme işlemlerindeki kesişim ve birleşim, mantıktaki niceleyicilerin karşılığıdır Bu ilişki kümelerdeki bazı önermelerin mantıksal önermelerle ifade edilmesini mümkün kılar Öyleyse matematik çağdaş yaşamla iç içedir Her zaman moderndir Biri diğerinden soyutlanamaz
Ölçme bugün yaşamımızda büyük bir yer tutar Fizik dersinde yaptığımız aynı deneyin sonuçlarının farklı gruplarının farklı ölçülerle değerlendirildiğini görürüz Bu o deneydeki geçerliliği mi kanıtlar? Hayır sadece ölçmede farklılıklar vardır 'Burada en doğru ölçümü kim yapmıştır?' diye sorabiliriz Yanıt ' Tüm öğrencilerdir' Farklılık ölçü aletlerinin kullanılış biçiminde kaynaklanmış olabilir Yeri gelmişken kimin yazdığını bilmediğim bir öyküyü anlatmadan geçemeyeceğim Dört kişiden biri kimyacı, biri fizikçi, biri matematikçi ve bir diğeri de insan bilimcidir Her birine birer barometre verilerek bir kilise kulesinin yüksekliğini ölçmeleri söyleniyor Kimyacı gazlar konusunda her şeyi biliyordu Kulenin altındaki ve üstündeki hava basınçlarını ölçtü (060) metre arasında dedi Fizikçi pahalı araçları umursamazca kullanmaya alışkındı Barometresini kuleden aşağı attı ve düşüş süresini ölçerek yüksekliği (2227) metre arasında hesapladı Matematikçi kulenin gölgesinin uzunluğunu barometrenin uzunluğu ile karşılaştırdı ve (3030,5) metre arasında dedi İnsan bilimci ise barometreyi sattı elde ettiği parayla kilisenin zangocuna birkaç kadeh içki ısmarladı Ve kule yüksekliğinin 30,4 metre olduğunu öğrendi Bu öyküden de anlaşılacağı gibi değişik ölçmelerin değişik sonuçlar vereceği ortadadır Modern dünyada yaşam büyük ölçüde insanın kesin ölçümler yapabilme yeteneğine bağlıdır Dünyanın çeşitli yerlerinde ölçümler için uzunluk, zaman, kütle, gerilim ve bir çokları için standart ölçü birimleri kullanılır Bunun sonucu olarak Japonya'da yapılan bir mil yatağı beş yıl önce Almanya'da yapılmış olan bir motor miline tıpatıp uyabilir
Sümerler bir elin parmakları olan 10 sayısını ve onluk sayma sistemini kullanmışlardır 12 aralığını bularak zamanı saatle, 60 sayısından yararlanarak zamanı ölçen saati, dakikayı, saniyeyi bulmuşlardır Hiçbir şey birden ortaya çıkmamıştır Ama matematik bir gereksinmedir Yaşamın bir parçasıdır Yaşamın her evresi matematiktir Doğru düşünme kurallarını öğretir Düşünce ile somut kavramlar arasında bağıntı kurar Sosyal ve bilimsel gelişme sürecini çabuklaştırır İnsan zekasını geliştirir Bunun en yakın örneği; 10 yaşındaki bir öğrencinin bir üniversitenin matematik bursunu kazanmasıdır Aslında her çocuk doğduğunda bir harikadır Onu işlemek yaşamın en ileri seviyesine götürmek eğitmek güç iştir Kendimizden vermeden, sürekli alarak hem matematik hem de hiçbir şey öğretilemez Başarılı olmak değil, öğrenmek bile mümkün değildir Matematik tüm yaşamdır Yaşamı seviyoruz, öyleyse matematiği de sevmeliyiz önermesinin doğruluk değeri daima 1 olmalıdır Gelişen, değişen, hem de hızla değişen dünyaya seyirci kalamayız
Büyük insan önderimiz Atatürk matematiği dilimizde daha anlaşılır bir biçime getirmiştir Ona yaşamımızı borçluyuz Bizzat kendisi matematikte kullanılan terimlerin adlarını bizim anlayabileceğimiz günlük konuşma dilimize çevirmiştir Bugün doğru düşünebiliyorsak onun sayesindedir İleriyi gören bakışları sayesinde bizi uygarlık seviyesinin üstüne çıkarmıştır Bugün bilimin her dalında araştırma yapıp dünyaya kendini kanıtlamış bilim adamlarımız vardır Ulusumuzu, vatanımızı her şeyden önemlisi insanlarımızı severek sürdürdüğümüz eğitim ve öğretimimizde her an öğrenmeğe araştırmaya ve uygar olmaya özen göstermeliyiz Matematik yaşamın kendisidir
kaynakbilgi amaçlıdır