paradoks nedir
matematik paradoks örnekleri
Paradoks Çeşitleri
1) İkiye Bölme Paradoksu: Bir gezgin, belirli bir uzaklığa gidecektir Önce gideceği yolun yarısını; sonra kalan yarısını; daha sonra kalanının yarısını;yürümek zorundadır Bu durumda hiçbir süre gideceği yolun sonuna ulaşamayacaktır
2) Euqlides Paradoksu: 'Yaptığım açıklama yanlıştır'
3) Avukat Paradoksu: Yunanlı ünlü avukat Protogras, verdiği özel dersin ücreti ile ilgili olarak öğrencisiyle bir uzlaşma yapar Bu anlaşmaya göre öğrencisi aldığı birincil davayı kazanırsa bu ücreti avukata ödeyecek, kazanamazsa ödemeyecektir
Dersin bitiminden hemen sonradan herhangi bir dava almayan öğrenciden ses seda çıkmaz Sabrını yitiren avukat, bir dava açarak bu ücreti öğrencisinden istek eder Yeni avukat olan öğrenci bu ilk davasında kendini savunmayı üstlenir
Bu davayı öğrenci kazanırsa ilk davasını kazanmış olacağı için davayı kaybeden hocasına parayı ödemek zorunda kalacaktır
Tersine davayı kayberse bu defa de davayı kaybettiği için hocasına tekrar ödeme gerçekleştirmek zorunda kalacaktır
4) Epimenides Paradoksu: Epimenides Giritli idi Ve paradoksu şöyleydi; 'Bütün Giritliler yalancıdır'
5) Walt Kelley Paradoksu: 'Düşmanla karşılaştık ve o biziz'
6) Berber Paradoksu: Bu paradoks 1918'de çıkmıştır Bir köyde, bir berber, kendi traş olmayan herkesi traş eder Berberi kim traş edecek?
7) Oscar Wilde Paradoksu: 'Günah işlemenin tek yolu onu kabul etmektir'
8) Don Kişot Paradoksu: Sanço Panço, Baratania adasının yöneticisidir Adaya gelenler niye geldiklerini ayrıntıları ile belirtmek zorundadır Eğer doğruyu söylerlerse serbest kalacaklar, yalan söylerlerse asılacaklardır Günün birinde bir gezgin gelir ve 'Ben asılmak için buradayım' der Sanço ne yapmalı?
9) Sonsuzlukla ilgili Paradoks: Doğal sayılar kümesi ve Doğal sayıların karelerinin kümesi bir bir eşlenebilir Bu kümelerin eleman sayıları nasıl birbirine eşdeğer olabilir?
10) Russell Paradoksu: Bertrand Russell'ın paradoksu küme üyeliğine ilişkindir Bir küme ya kendisinin bir üyesidir, ya da değildir Kendisinin bir üyesi olmayan kümelere 'ahenkli' diyelim Örneğin, 'İnsanların kümesi'nin kendisi, bir insan olmadığı için, nkendisinin bir üyesi değildir Kendisini içeren kümeleri 'yamalı' olarak adlandıralım Mesela 'beş elemandan pozitif elemanı olan kümelerin kümesi' ahenkli midir yoksa düzensiz midir? Eğer düzenliyse; kendinin bir üyesi olamaz Bütün düzenli kümeleri içerdiğine tarafından ve kendisinin de düzenli olduğunu kabul ettiğimiz için, kendisini içermelidir Ama eğer kendisini içeriyorsa, tanınma tarafından düzensizdir Ahenkli olduğunu varsayıp, yamalı olduğu çelişkili sonucuna vardık bir de, eğer düzensiz ise, kendisini elemanı olarak içerir Fakat elemanlarının yalnızca uyumlu kümeler olduğunu biliyoruz Seslenmek ancak yamalı ise uyumlu olduğu sonucu ortaya çıkıyor Russell Paradoksu, Alman Matematikçi Gottlob Frege'e büyük bir darbe indirmiştir Frege, bu paradoksu öğrendiğinde, aritmetiğin mantıksal gelişimi hakkındaki kitabının ikinci cildini yeni bitirmişti IIcildin ek bölümü şöyle başlar: 'Bir bilim insanı için en üzücü olay, yapıtı bütün bitmişken temellerinin çökmesidir Bertrand Russell'ın bana gönderdiği mektup sonucunda, bu duruma düştüm'
DOĞRU PARÇASI PARADOKSU
Önce içten parçasının tarifini yapalım:
Içten Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve ebedi adet noktadan oluşan dürüst Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en minik iz ya da belirtiMalûmdur fakat noktanın boyutu yoktur O halde uyarı Paradoks başlıyor:
Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın alt yandan gelmesi bir şey açıklama etmez 100 nokta veya 1 milyar nokta da emrindeki yana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan ebat özelliğini sağlamıyor) Bu şuna aynı oysa; sıfır ile sıfırın toplamı tekrar sıfırdır Milyarlarca sırı toplasak 'yarım' dahi etmez O halde doğrunun tanımında bir hata var Çünkü sonsuz adet noktanın tabi yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın fazla fazla az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur
Noktayı boyutlu kabul edelim Karşımıza bir paradoks daha çıkar; dürüst parçasında sonsuz adet nokta olduğuna kadar içten parçasının da uzunluğu ebedi olmalıdır Çünkü fazla eksik da olsa boyutu olan bir şeyden ölümsüz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur
KARIŞIM PARADOKSU
Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz Iyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz Şu Anda sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yahut sütteki kahve mi daha fazladır?
Yanıt hayret verici gelebilir lakin karışım oranları eşittir İşte ispatı:
Kabul edelim ki karışımımız aynı yapılı olan olmasın Meselâ kahveye kattığımız süt, iyice dibe çöksün Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır Ya Da:
Birincil karışımdan sonradan kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun Bu sefer yeniden sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır Ya Da:
Birincil karışım türdeş olsun Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur
alıntı *
matematik paradoks örnekleri
Paradoks Çeşitleri
1) İkiye Bölme Paradoksu: Bir gezgin, belirli bir uzaklığa gidecektir Önce gideceği yolun yarısını; sonra kalan yarısını; daha sonra kalanının yarısını;yürümek zorundadır Bu durumda hiçbir süre gideceği yolun sonuna ulaşamayacaktır
2) Euqlides Paradoksu: 'Yaptığım açıklama yanlıştır'
3) Avukat Paradoksu: Yunanlı ünlü avukat Protogras, verdiği özel dersin ücreti ile ilgili olarak öğrencisiyle bir uzlaşma yapar Bu anlaşmaya göre öğrencisi aldığı birincil davayı kazanırsa bu ücreti avukata ödeyecek, kazanamazsa ödemeyecektir
Dersin bitiminden hemen sonradan herhangi bir dava almayan öğrenciden ses seda çıkmaz Sabrını yitiren avukat, bir dava açarak bu ücreti öğrencisinden istek eder Yeni avukat olan öğrenci bu ilk davasında kendini savunmayı üstlenir
Bu davayı öğrenci kazanırsa ilk davasını kazanmış olacağı için davayı kaybeden hocasına parayı ödemek zorunda kalacaktır
Tersine davayı kayberse bu defa de davayı kaybettiği için hocasına tekrar ödeme gerçekleştirmek zorunda kalacaktır
4) Epimenides Paradoksu: Epimenides Giritli idi Ve paradoksu şöyleydi; 'Bütün Giritliler yalancıdır'
5) Walt Kelley Paradoksu: 'Düşmanla karşılaştık ve o biziz'
6) Berber Paradoksu: Bu paradoks 1918'de çıkmıştır Bir köyde, bir berber, kendi traş olmayan herkesi traş eder Berberi kim traş edecek?
7) Oscar Wilde Paradoksu: 'Günah işlemenin tek yolu onu kabul etmektir'
8) Don Kişot Paradoksu: Sanço Panço, Baratania adasının yöneticisidir Adaya gelenler niye geldiklerini ayrıntıları ile belirtmek zorundadır Eğer doğruyu söylerlerse serbest kalacaklar, yalan söylerlerse asılacaklardır Günün birinde bir gezgin gelir ve 'Ben asılmak için buradayım' der Sanço ne yapmalı?
9) Sonsuzlukla ilgili Paradoks: Doğal sayılar kümesi ve Doğal sayıların karelerinin kümesi bir bir eşlenebilir Bu kümelerin eleman sayıları nasıl birbirine eşdeğer olabilir?
10) Russell Paradoksu: Bertrand Russell'ın paradoksu küme üyeliğine ilişkindir Bir küme ya kendisinin bir üyesidir, ya da değildir Kendisinin bir üyesi olmayan kümelere 'ahenkli' diyelim Örneğin, 'İnsanların kümesi'nin kendisi, bir insan olmadığı için, nkendisinin bir üyesi değildir Kendisini içeren kümeleri 'yamalı' olarak adlandıralım Mesela 'beş elemandan pozitif elemanı olan kümelerin kümesi' ahenkli midir yoksa düzensiz midir? Eğer düzenliyse; kendinin bir üyesi olamaz Bütün düzenli kümeleri içerdiğine tarafından ve kendisinin de düzenli olduğunu kabul ettiğimiz için, kendisini içermelidir Ama eğer kendisini içeriyorsa, tanınma tarafından düzensizdir Ahenkli olduğunu varsayıp, yamalı olduğu çelişkili sonucuna vardık bir de, eğer düzensiz ise, kendisini elemanı olarak içerir Fakat elemanlarının yalnızca uyumlu kümeler olduğunu biliyoruz Seslenmek ancak yamalı ise uyumlu olduğu sonucu ortaya çıkıyor Russell Paradoksu, Alman Matematikçi Gottlob Frege'e büyük bir darbe indirmiştir Frege, bu paradoksu öğrendiğinde, aritmetiğin mantıksal gelişimi hakkındaki kitabının ikinci cildini yeni bitirmişti IIcildin ek bölümü şöyle başlar: 'Bir bilim insanı için en üzücü olay, yapıtı bütün bitmişken temellerinin çökmesidir Bertrand Russell'ın bana gönderdiği mektup sonucunda, bu duruma düştüm'
DOĞRU PARÇASI PARADOKSU
Önce içten parçasının tarifini yapalım:
Içten Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve ebedi adet noktadan oluşan dürüst Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en minik iz ya da belirtiMalûmdur fakat noktanın boyutu yoktur O halde uyarı Paradoks başlıyor:
Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın alt yandan gelmesi bir şey açıklama etmez 100 nokta veya 1 milyar nokta da emrindeki yana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan ebat özelliğini sağlamıyor) Bu şuna aynı oysa; sıfır ile sıfırın toplamı tekrar sıfırdır Milyarlarca sırı toplasak 'yarım' dahi etmez O halde doğrunun tanımında bir hata var Çünkü sonsuz adet noktanın tabi yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın fazla fazla az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur
Noktayı boyutlu kabul edelim Karşımıza bir paradoks daha çıkar; dürüst parçasında sonsuz adet nokta olduğuna kadar içten parçasının da uzunluğu ebedi olmalıdır Çünkü fazla eksik da olsa boyutu olan bir şeyden ölümsüz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur
KARIŞIM PARADOKSU
Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz Iyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz Şu Anda sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yahut sütteki kahve mi daha fazladır?
Yanıt hayret verici gelebilir lakin karışım oranları eşittir İşte ispatı:
Kabul edelim ki karışımımız aynı yapılı olan olmasın Meselâ kahveye kattığımız süt, iyice dibe çöksün Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır Ya Da:
Birincil karışımdan sonradan kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun Bu sefer yeniden sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır Ya Da:
Birincil karışım türdeş olsun Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur
alıntı *