soru:
Pi sayısının 3,14159 şeklinde devam ettiğini biliyoruz Virgülden sonraki ikinci basamağın 4 ya da beşinci basamağın 9 olduğunu nasıl biliyoruz? Kaçı kaça bölerek bu sayıyı buluyoruz? Diyelim ki pi, Çevre2r den bulunuyor Dairenin çevreside pi'ye bağımlı olarak bulunuyor Pi sonsuza gidiyorsa Ç 2*pi*r formülünde pi yerine sonsuza kadar devam eden basamaklarını yazamayacağımıza göre çevreyi tam olarak bulamayız Bir daire alıp bunun çevresini ve yarıçapını ölçüp bulabiliriz belki Ama hangi uzunluğu tam olarak ölçebiliriz? Yanıtlarsanız sevinirim (Deniz Can)
yanıt:
Bu güzel bir soru Tahmin edebileceğiniz gibi, artık ? sayısının hesaplamak için elimizde pek çok seçenek var Örneğin,18 no'lu soruda trigonometri fonksiyonları kullanılarak bu hesabın nasıl yapılabileceği belirtilmiş Orada:
Sin11 ?2 ve cos10 ?2 eşitliklerinin sol tarafları için Taylor serisi açılımı kullanılarak, ?'nin değerinin istenilen duyarlılıkla hesaplanabileceği gösterilmiş
Ancak, sizin burada sorduğunuz sorunun, bu hesabın, daire ve çap ilişkisi kullanılarak nasıl yapılabileceğinin, ya da tarihsel olarak nasıl yapıldığının açıklanması olduğunu varsayıyorum
Bir dairede, dairenin alanı ile çap arasında, ya da dairenin çemberi ile çap arasında sabit bir oranın var olduğu, ilk kimler tarafından ve ne zaman keşfedildi, bu kesin olarak bilinmiyor Elimizdeki en eski kayıtta, MÖ 1650 civarında Ahmes adlı Eski Mısır'lı bir katibin yazmış olduğu ve Rhind Papirüsü adı verilen belgede, şöyle deniliyor: Çapın 19'unu kes ve kalanının üstüne bir kare çiz; bu alan dairenin alanının aynısıdırBurada, dairenin alanı ile çap arasında sabit bir oranın varlığı belirtilmiş olmakla birlikte, günümüzdeki anlamda bir ? sayısının varlığının bilincinde olunduğu kuşkulu Bu öneri doğrultusunda elde edilecek olan sonuç, karenin kenarı x 8(2r)9 olduğuna ve alanı x2 64(4r2)81 olacağına göre, bu alan dairenin alanına eşitlendiğinde, 256r281 ?r 2 veya ? 25681 3,16005 olarak karşımıza çıkar Fena bir yaklaştırma değil Öte yandan, söz konusu karenin çevresi, L 4x 64r9 olur Bunu dairenin çevresine eşitleyecek olursak, L 2?r eşitliğinden, 64r9 2?r veya ? 329 3,55555 elde ederiz Bu yaklaştırma, alanların eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü Eski Mısır'lıların bu hesabı yapıp yapmadıklarını bilmiyoruz, ancak kendimiz bu hesabı yaparsak ? 25681 buluyoruz Matematik tarihçileri arasında genel kanı, Eski Mısırlıların, çemberin uzunluğunun çapın uzunluğuna oranını 25681 3,16049 olarak kabul ettikleri şeklindedir Bu sayı, bugün 54 milyar basamağa kadar hesaplanmış olan ? sayısının ilk 5 basamağının 3,14159 olduğunu hatırlarsak,? sayısının değerinin hesaplanmasındaki hata oranının, daha MÖ 1650'lerde yüzde 1'in altına düşmüş olduğu anlamına geliyor Eski Grek'ler döneminde, Anaksagoras (MÖ 500428) ile başlayıp Antiphon ve Bryson ile devam eden çalışmalarda, bir çemberin içine çizilen eşit kenarlı çokgenlerin alanıyla ? sayısının hesaplanması çalışmaları başladı Açalım:
Şekil 1’de yarıçapı r olan bir dairenin içine bir kare oturtulmuş Bu kareyi, daireye bir yaklaştırma olarak düşünüyoruz ABC üçgeni ikizkenar olduğundan, karenin yarım kenar uzunluğu a r?2’dir Bu durumda karenin çevresi L 8a 4?2r, alanı A (2a) 2 (?2r) 2 2r2 olur Karenin çevresini, dairenin çemberine eşitlersek, L 2?r eşitliğinden, 4?2r 2?r veya ? 2?2 elde ederiz Bu yaklaştırma bize, ? 2,828427 verir Halbuki karenin alanını dairenin alanına eşitlediğimizde, A ?r2 eşitliğinden, 2r2 ?r2, yani ? 2 elde ederiz Bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü
Şimdi yaklaştırmamızı bir adım daha ileri götürmek üzere, bu sefer dairenin içine, bir kare yerine, eşkenarlı bir sekizgen oturtalım Alttaki 2 numaralı şekilde bu durum görülüyor Eşkenarlı sekizgenin kareye göre fazlalık alanları sarı renkle tonlandırılmış AD uzunluğu r’ye eşit ve a r?2 olduğuna göre; BCD üçgeninin yüksekliğinin b rr?2 olması gerekir BC kenarının uzunluğu a r?2 olduğuna göre, BD kenarının uzunluğunun karesi a22 r22+ (r2+ r22 2r2?2) 2r2?2r2 (2?2)r2 olur O halde BD’nin uzunluğu |BD| (2?2) 12r’dir Sekizgenin çevresi bunun 8 katı, yani L 8(2?2) 12r’ye eşittir Bunu dairenin çevresine eşitlersek, L L 2?r eşitliğinden, 8(2?2) 12r 2?r veya ? 4(2?2) 12 elde ederiz Bu yaklaştırma bize, ? 3,06146 verir Bir önceki yaklaştırmadan daha iyi
Öte yandan, BCD üçgeninin alanı ab2 (r?2)(rr?2)2 r22?2 r24 olur Sekizgenin alanını elde etmek için, karenin alanına bu üçgenlerden sekizinin alanını eklemek gerekir: A (2a) 2+8(r22?2 r24) 2r2+2?2r2 2r2 2?2r2 Bu alanı dairenin alanına eşitlersek, A ?r2 eşitliğinden, 2?2r2 ?r2, yani ? 2?2 2,828427 elde ederiz Görüldüğü gibi, bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü, ama kare ile elde edilen yaklaştırmalardan daha iyi bir sonuç Demek ki, herhangi bir eşkenar çokgenle yaklaştırmada, çevrelerin eşitlenmesi, alanların eşitlenmesinden daha iyi sonuç veriyor gibi Böyle bir genelleme yapmak mümkün Bunun nedeni, çokgenlerin çevresinin dairenin çevresine, çokgenlerin alanlarının dairenin alanına yaklaştığından daha hızlı yaklaşıyor olması Asıl ilginç olanı, sekizgenle yaklaştırmada alanların eşitlenmesiyle elde edilen sonuç, kare ile yaklaştırmada çevrelerin eşitlenmesiyle elde edilen sonucun aynısı Bunun nedenini de siz düşünüp bulun
Bir sonraki yaklaştırma aşamasına, dairenin içindeki eşkenar sekizgen, bir eşkenar onaltıgene genişletilerek geçilebilir
Ancak Eski Greklerin yaptığı buna benzer çalışmalarda söz konusu sabite, ? sayısı adı verilmiş değildi; yazılarda, çap ile çember uzunluğu arasında çarpan olan o sabit sayıdan bahsediliyordu Düzgün çokgenlerle, köşe sayısını her adımda ikiye katlayarak, hızla daireye doğru yaklaşılabileceği ve düzgün çokgenin alanı hesaplanıp çapa bölünerek ? sayısının giderek daha da yüksek duyarlılıkla hesaplanabileceği yukarıdaki örneklerden de görüleceği üzere, açıktır Ancak unutulmamalı ki, MÖ 4 yüzyıldan bahsediyoruz: Modern hesap araçlarının yokluğunu bir yana bırakın, büyük hesaplama kolaylığı getirmiş olan 10'lu HindArap sayı sistemi dahi henüz ortalıkta yok
Aşağıda bu hesaplamaların tarihçesini gösteren bir alıntı var İlave edeceğimiz tek şey, sıra kendisine geldiğinde Arşimed’in, alanları hesaplamak yerine çevreyi kullanarak ? 'yi hesaplama yöntemini seçmiş olmasıdır
Sözü uzatmamak için şunu söyleyelim: Sizin sorduğunuz 3,14159 hassasiyetine ulaşanlar Çin'li Tsu Ch'ungchih ve oğlu Tsu Kengchih'dir Çemberin içine tam 24 526 köşeli bir çokgen çizip hesabı yaptılar ve ?'nın değerini 355113 olarak buldular Belli ki, düzgün bir altıgenle başlayıp köşe sayısını art arda 12 kez ikiye katlamış olmalılar Hesaplamadaki yaklaşımın duyarlılık düzeyini görüyorsunuz
Evet, örneğin bir konserve kutusu alarak çevresini ve çapını ölçüp oranlarsak, ?'ye yakın bir sayı buluruz Tarihsel yöntem bu idi Ancak günümüzde ?'nin değeri çok sayıda farklı yöntem ile hesaplanmakta olup, daha öncede belirttiğimiz gibi 54 milyar basamaktan daha büyük bir duyarlılıkla hesaplanmış durumda
Bu arada, o sabit sayıya ? adını, 1650'lerden itibaren birkaç kez kullanıldığı görünmekle birlikte, standard kullanım haline gelmesi, 1737'de Euler'in ?'yi benimsemesinden sonra olmuştur
Aklımızda bulunsun: 314 sayısına atfen, her yıl mart ayının 14'ü ? günü olarak kutlanmaktadır
Muammer Abalı
Pi sayısının 3,14159 şeklinde devam ettiğini biliyoruz Virgülden sonraki ikinci basamağın 4 ya da beşinci basamağın 9 olduğunu nasıl biliyoruz? Kaçı kaça bölerek bu sayıyı buluyoruz? Diyelim ki pi, Çevre2r den bulunuyor Dairenin çevreside pi'ye bağımlı olarak bulunuyor Pi sonsuza gidiyorsa Ç 2*pi*r formülünde pi yerine sonsuza kadar devam eden basamaklarını yazamayacağımıza göre çevreyi tam olarak bulamayız Bir daire alıp bunun çevresini ve yarıçapını ölçüp bulabiliriz belki Ama hangi uzunluğu tam olarak ölçebiliriz? Yanıtlarsanız sevinirim (Deniz Can)
yanıt:
Bu güzel bir soru Tahmin edebileceğiniz gibi, artık ? sayısının hesaplamak için elimizde pek çok seçenek var Örneğin,18 no'lu soruda trigonometri fonksiyonları kullanılarak bu hesabın nasıl yapılabileceği belirtilmiş Orada:
Sin11 ?2 ve cos10 ?2 eşitliklerinin sol tarafları için Taylor serisi açılımı kullanılarak, ?'nin değerinin istenilen duyarlılıkla hesaplanabileceği gösterilmiş
Ancak, sizin burada sorduğunuz sorunun, bu hesabın, daire ve çap ilişkisi kullanılarak nasıl yapılabileceğinin, ya da tarihsel olarak nasıl yapıldığının açıklanması olduğunu varsayıyorum
Bir dairede, dairenin alanı ile çap arasında, ya da dairenin çemberi ile çap arasında sabit bir oranın var olduğu, ilk kimler tarafından ve ne zaman keşfedildi, bu kesin olarak bilinmiyor Elimizdeki en eski kayıtta, MÖ 1650 civarında Ahmes adlı Eski Mısır'lı bir katibin yazmış olduğu ve Rhind Papirüsü adı verilen belgede, şöyle deniliyor: Çapın 19'unu kes ve kalanının üstüne bir kare çiz; bu alan dairenin alanının aynısıdırBurada, dairenin alanı ile çap arasında sabit bir oranın varlığı belirtilmiş olmakla birlikte, günümüzdeki anlamda bir ? sayısının varlığının bilincinde olunduğu kuşkulu Bu öneri doğrultusunda elde edilecek olan sonuç, karenin kenarı x 8(2r)9 olduğuna ve alanı x2 64(4r2)81 olacağına göre, bu alan dairenin alanına eşitlendiğinde, 256r281 ?r 2 veya ? 25681 3,16005 olarak karşımıza çıkar Fena bir yaklaştırma değil Öte yandan, söz konusu karenin çevresi, L 4x 64r9 olur Bunu dairenin çevresine eşitleyecek olursak, L 2?r eşitliğinden, 64r9 2?r veya ? 329 3,55555 elde ederiz Bu yaklaştırma, alanların eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü Eski Mısır'lıların bu hesabı yapıp yapmadıklarını bilmiyoruz, ancak kendimiz bu hesabı yaparsak ? 25681 buluyoruz Matematik tarihçileri arasında genel kanı, Eski Mısırlıların, çemberin uzunluğunun çapın uzunluğuna oranını 25681 3,16049 olarak kabul ettikleri şeklindedir Bu sayı, bugün 54 milyar basamağa kadar hesaplanmış olan ? sayısının ilk 5 basamağının 3,14159 olduğunu hatırlarsak,? sayısının değerinin hesaplanmasındaki hata oranının, daha MÖ 1650'lerde yüzde 1'in altına düşmüş olduğu anlamına geliyor Eski Grek'ler döneminde, Anaksagoras (MÖ 500428) ile başlayıp Antiphon ve Bryson ile devam eden çalışmalarda, bir çemberin içine çizilen eşit kenarlı çokgenlerin alanıyla ? sayısının hesaplanması çalışmaları başladı Açalım:
Şekil 1’de yarıçapı r olan bir dairenin içine bir kare oturtulmuş Bu kareyi, daireye bir yaklaştırma olarak düşünüyoruz ABC üçgeni ikizkenar olduğundan, karenin yarım kenar uzunluğu a r?2’dir Bu durumda karenin çevresi L 8a 4?2r, alanı A (2a) 2 (?2r) 2 2r2 olur Karenin çevresini, dairenin çemberine eşitlersek, L 2?r eşitliğinden, 4?2r 2?r veya ? 2?2 elde ederiz Bu yaklaştırma bize, ? 2,828427 verir Halbuki karenin alanını dairenin alanına eşitlediğimizde, A ?r2 eşitliğinden, 2r2 ?r2, yani ? 2 elde ederiz Bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü
Şimdi yaklaştırmamızı bir adım daha ileri götürmek üzere, bu sefer dairenin içine, bir kare yerine, eşkenarlı bir sekizgen oturtalım Alttaki 2 numaralı şekilde bu durum görülüyor Eşkenarlı sekizgenin kareye göre fazlalık alanları sarı renkle tonlandırılmış AD uzunluğu r’ye eşit ve a r?2 olduğuna göre; BCD üçgeninin yüksekliğinin b rr?2 olması gerekir BC kenarının uzunluğu a r?2 olduğuna göre, BD kenarının uzunluğunun karesi a22 r22+ (r2+ r22 2r2?2) 2r2?2r2 (2?2)r2 olur O halde BD’nin uzunluğu |BD| (2?2) 12r’dir Sekizgenin çevresi bunun 8 katı, yani L 8(2?2) 12r’ye eşittir Bunu dairenin çevresine eşitlersek, L L 2?r eşitliğinden, 8(2?2) 12r 2?r veya ? 4(2?2) 12 elde ederiz Bu yaklaştırma bize, ? 3,06146 verir Bir önceki yaklaştırmadan daha iyi
Öte yandan, BCD üçgeninin alanı ab2 (r?2)(rr?2)2 r22?2 r24 olur Sekizgenin alanını elde etmek için, karenin alanına bu üçgenlerden sekizinin alanını eklemek gerekir: A (2a) 2+8(r22?2 r24) 2r2+2?2r2 2r2 2?2r2 Bu alanı dairenin alanına eşitlersek, A ?r2 eşitliğinden, 2?2r2 ?r2, yani ? 2?2 2,828427 elde ederiz Görüldüğü gibi, bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü, ama kare ile elde edilen yaklaştırmalardan daha iyi bir sonuç Demek ki, herhangi bir eşkenar çokgenle yaklaştırmada, çevrelerin eşitlenmesi, alanların eşitlenmesinden daha iyi sonuç veriyor gibi Böyle bir genelleme yapmak mümkün Bunun nedeni, çokgenlerin çevresinin dairenin çevresine, çokgenlerin alanlarının dairenin alanına yaklaştığından daha hızlı yaklaşıyor olması Asıl ilginç olanı, sekizgenle yaklaştırmada alanların eşitlenmesiyle elde edilen sonuç, kare ile yaklaştırmada çevrelerin eşitlenmesiyle elde edilen sonucun aynısı Bunun nedenini de siz düşünüp bulun
Bir sonraki yaklaştırma aşamasına, dairenin içindeki eşkenar sekizgen, bir eşkenar onaltıgene genişletilerek geçilebilir
Ancak Eski Greklerin yaptığı buna benzer çalışmalarda söz konusu sabite, ? sayısı adı verilmiş değildi; yazılarda, çap ile çember uzunluğu arasında çarpan olan o sabit sayıdan bahsediliyordu Düzgün çokgenlerle, köşe sayısını her adımda ikiye katlayarak, hızla daireye doğru yaklaşılabileceği ve düzgün çokgenin alanı hesaplanıp çapa bölünerek ? sayısının giderek daha da yüksek duyarlılıkla hesaplanabileceği yukarıdaki örneklerden de görüleceği üzere, açıktır Ancak unutulmamalı ki, MÖ 4 yüzyıldan bahsediyoruz: Modern hesap araçlarının yokluğunu bir yana bırakın, büyük hesaplama kolaylığı getirmiş olan 10'lu HindArap sayı sistemi dahi henüz ortalıkta yok
Aşağıda bu hesaplamaların tarihçesini gösteren bir alıntı var İlave edeceğimiz tek şey, sıra kendisine geldiğinde Arşimed’in, alanları hesaplamak yerine çevreyi kullanarak ? 'yi hesaplama yöntemini seçmiş olmasıdır
Sözü uzatmamak için şunu söyleyelim: Sizin sorduğunuz 3,14159 hassasiyetine ulaşanlar Çin'li Tsu Ch'ungchih ve oğlu Tsu Kengchih'dir Çemberin içine tam 24 526 köşeli bir çokgen çizip hesabı yaptılar ve ?'nın değerini 355113 olarak buldular Belli ki, düzgün bir altıgenle başlayıp köşe sayısını art arda 12 kez ikiye katlamış olmalılar Hesaplamadaki yaklaşımın duyarlılık düzeyini görüyorsunuz
Evet, örneğin bir konserve kutusu alarak çevresini ve çapını ölçüp oranlarsak, ?'ye yakın bir sayı buluruz Tarihsel yöntem bu idi Ancak günümüzde ?'nin değeri çok sayıda farklı yöntem ile hesaplanmakta olup, daha öncede belirttiğimiz gibi 54 milyar basamaktan daha büyük bir duyarlılıkla hesaplanmış durumda
Bu arada, o sabit sayıya ? adını, 1650'lerden itibaren birkaç kez kullanıldığı görünmekle birlikte, standard kullanım haline gelmesi, 1737'de Euler'in ?'yi benimsemesinden sonra olmuştur
Aklımızda bulunsun: 314 sayısına atfen, her yıl mart ayının 14'ü ? günü olarak kutlanmaktadır
Muammer Abalı
