polinomlar lise ornek ve cozumlu sorular
Polinomlar Sorular ve Cozumleri
polinomlar soru ve cevaplar
ao, a1, a2 an R ve n N olmak uzere
P(x) an xn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + + a1x + ao bicimindeki cok terimlilere polinom denir
3x3 + 2x2 – 5x + 3 bir polinomdur
2 x4 – 3x2 – 6x + 3 bir polinomdur
–3 x2 + 5x – 1 polinom değildir
x3 – x–2 + x + 4 polinom değildir
Bir polinomun derecesi en buyuk dereceli terimin derecesidir
Orneğin x3 – 3x2 + 4 ucuncu dereceden bir polinomdur
P(x,y) x5 + x2y2+ x4y2 + y3 – x gibi iki bilinmeyenlerin usleri toplamıdır
Orneğin yukarıdaki polinomda x4y2 teriminin derecesi 4+2 6 dır
Bir P(x) polinomunun derecesini d ( P(x) ) biciminde gostereceğiz
Orneğin, x4 – 2x3 + 5x2 + x + 3 ise
d ( P(x) ) 4 dur
İki polinomun eşitliği (denkliği):
O iki polinomun derecelerinin aynı ve aynı dereceden terimlerinin katsayılarının eşitliği ile tanımlanır
P(x) ax3 + bx2 + cx + d
Q(x) 2x2 – 3x + 4
iken,
P(x) Q(x) ise:
ax3 + bx2 + cx + d 2x2 – 3x + 4 den
a 0, b 2, c –2 ve d 9 bulunur
POLİNOMLARDA TOPLAMA – CIKARMA
Toplama ve cıkarma aynı dereceden terimlerin toplama veya cıkarılması ile yapılır
ORNEK :
P(x) 2x3 + 3x2 – 5x + 4
Q(x) 5x2 + 6x2 + 5
ise P(x) + Q(x) ve P(x) – Q(x) ifadelerinin eşitlerini bulunuz?
Cozum :
P(xQ(x) (2x3 + 3x2 –5x + 4) + 5x3+6x2+5
7x3 + 9x2 – 5x + 9
P(x)Q(x) (2x3 3x2 – 5x+4) – (5x3+6x2+ 5)
2x3 + 3x2 – 5x + 4 – 5x3 – 6x2 – 5
–3x3 – 3x2 – 5x – 1
POLİNOMLARDA CARPMA
a) Tek terimli bir polinomun cok terimli bir polinomla carpımını yapmak icin carpmanın toplama uzerine dağılma ozelliği uygulanır
Orneğin;
3x2(2x3 – 3x2 + 5x – 3) 6x5 – 9x4 + 15x3 – 9x2 dir
b) Cok terimlilerin carpımında, birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimi ile ayrı ayrı carpılır Bunların toplamı alınır
Polinomların carpımında, carpımın derecesi, carpanların dereceleri toplamına eşittir
d(P(x) Q(x)) d(P(x) + d(Q(x) ) dır
ORNEK :
P(x) x2 – 2x + 1
Q(x) x3 – 3x2 ise P(x) Q(x) ?
Cozum :
P(x) Q(x) (x2 – 2x + 1) (x3 – 3x2)
x5 – 3x4 – 2x4 + 6x3 + x3– 3x2
x5 – 5x4 7x3 , 3x2
ORNEK :
P(x) x3 – 7x
Q(x) x3 + 7x ise P(x) Q(x) ?
Cozum :
P(x) Q(x) (x3 – 7x) (x3 + 7x)
x6 + 7x4 – 7x4 – 49x2
x6 – 49x2
ORNEK :
P(x) x12 + x3 + x2 + 2x + 1
Q(x) xn + xn–1 + x
( P(x) Q(x) ) ın derecesi 15 ise n kactır?
Cozum :
d ( P(x) Q(x) d ( P(x) ) + d(Q(x)) olduğu icin
15 12 + n n 3 tur
ORNEK :
polinomunun derecesi kactır?
Cozum :
n + 24 ve 8n doğal sayı olmalıdır Buradan n 2 ise
2+24 1 ve 82 4 bulunur
O halde polinom
P(x) 3x + 2x4 3x2 + 4 bicimindedir Azalan kuvvetlere gore sıralanırsa
P(x) 2x4 + 3x2 3x + 4 dur
P(x) in derecesi 4 olarak bulunur
Polinomlarda bazı ozel carpımlar vardır Bunlara ozdeşlikler de denir Bu carpımları ezbere bilmek gerekir Bunları tersinden kullanarak carpanlara ayırmaları yaparız
OZDEŞLİKLER :
1) (x – y) (x + y) x2 – y2
2) (x – y) (x2 + xy + y + y2
3) (x – y) (x3 + x2y + xy2 + y4) x4 – y4
4) Genel olarak
(x–y) (xn–1 + xn–2y + xn–2 y2 ++ xyn–2 + yn–1) xn–yn dir
5) x + y ≠ 0 koşulu ile
(x + y)0 1
(x + y)1 x + y
(x + y)2 x2 + 2xy + y2
(iki terimli toplamın karesi: birincinin karesi + birinci ile ikincinin carpımının iki katı + ikincinin karesidir)
(x + y)3 x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(İki terimin toplamının kupunu siz yukarıdaki gibi ifade edin
(x + y)4 x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 dur
Terimlerde xin uzeri bir azalırken y nin uzeri bir artarak sıra ile yazıldığına dikkat ediniz Kat sayıları paskal ucgeninden bulunur
Paskal ucgeni:
Orneğin (x + y)5 in acılımı istense 5 derece (6 sıra) karşısında bulunan sayılar sıra ile katsayı olarak alınırlar ve,
(x+y)5 x5 + 5xy4 + 10x3Y2 + 10x2y3 5xy4 + y5 olarak bulunur
6) x – y ≠ 0 icin
(x – y)0 1
(x – y)1 x – y
(x – y)2 x2 – 2xy + y2
(x – y)3 x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
alıntı
Polinomlar Sorular ve Cozumleri
polinomlar soru ve cevaplar
ao, a1, a2 an R ve n N olmak uzere
P(x) an xn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + + a1x + ao bicimindeki cok terimlilere polinom denir
3x3 + 2x2 – 5x + 3 bir polinomdur
2 x4 – 3x2 – 6x + 3 bir polinomdur
–3 x2 + 5x – 1 polinom değildir
x3 – x–2 + x + 4 polinom değildir
Bir polinomun derecesi en buyuk dereceli terimin derecesidir
Orneğin x3 – 3x2 + 4 ucuncu dereceden bir polinomdur
P(x,y) x5 + x2y2+ x4y2 + y3 – x gibi iki bilinmeyenlerin usleri toplamıdır
Orneğin yukarıdaki polinomda x4y2 teriminin derecesi 4+2 6 dır
Bir P(x) polinomunun derecesini d ( P(x) ) biciminde gostereceğiz
Orneğin, x4 – 2x3 + 5x2 + x + 3 ise
d ( P(x) ) 4 dur
İki polinomun eşitliği (denkliği):
O iki polinomun derecelerinin aynı ve aynı dereceden terimlerinin katsayılarının eşitliği ile tanımlanır
P(x) ax3 + bx2 + cx + d
Q(x) 2x2 – 3x + 4
iken,
P(x) Q(x) ise:
ax3 + bx2 + cx + d 2x2 – 3x + 4 den
a 0, b 2, c –2 ve d 9 bulunur
POLİNOMLARDA TOPLAMA – CIKARMA
Toplama ve cıkarma aynı dereceden terimlerin toplama veya cıkarılması ile yapılır
ORNEK :
P(x) 2x3 + 3x2 – 5x + 4
Q(x) 5x2 + 6x2 + 5
ise P(x) + Q(x) ve P(x) – Q(x) ifadelerinin eşitlerini bulunuz?
Cozum :
P(xQ(x) (2x3 + 3x2 –5x + 4) + 5x3+6x2+5
7x3 + 9x2 – 5x + 9
P(x)Q(x) (2x3 3x2 – 5x+4) – (5x3+6x2+ 5)
2x3 + 3x2 – 5x + 4 – 5x3 – 6x2 – 5
–3x3 – 3x2 – 5x – 1
POLİNOMLARDA CARPMA
a) Tek terimli bir polinomun cok terimli bir polinomla carpımını yapmak icin carpmanın toplama uzerine dağılma ozelliği uygulanır
Orneğin;
3x2(2x3 – 3x2 + 5x – 3) 6x5 – 9x4 + 15x3 – 9x2 dir
b) Cok terimlilerin carpımında, birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimi ile ayrı ayrı carpılır Bunların toplamı alınır
Polinomların carpımında, carpımın derecesi, carpanların dereceleri toplamına eşittir
d(P(x) Q(x)) d(P(x) + d(Q(x) ) dır
ORNEK :
P(x) x2 – 2x + 1
Q(x) x3 – 3x2 ise P(x) Q(x) ?
Cozum :
P(x) Q(x) (x2 – 2x + 1) (x3 – 3x2)
x5 – 3x4 – 2x4 + 6x3 + x3– 3x2
x5 – 5x4 7x3 , 3x2
ORNEK :
P(x) x3 – 7x
Q(x) x3 + 7x ise P(x) Q(x) ?
Cozum :
P(x) Q(x) (x3 – 7x) (x3 + 7x)
x6 + 7x4 – 7x4 – 49x2
x6 – 49x2
ORNEK :
P(x) x12 + x3 + x2 + 2x + 1
Q(x) xn + xn–1 + x
( P(x) Q(x) ) ın derecesi 15 ise n kactır?
Cozum :
d ( P(x) Q(x) d ( P(x) ) + d(Q(x)) olduğu icin
15 12 + n n 3 tur
ORNEK :
polinomunun derecesi kactır?
Cozum :
n + 24 ve 8n doğal sayı olmalıdır Buradan n 2 ise
2+24 1 ve 82 4 bulunur
O halde polinom
P(x) 3x + 2x4 3x2 + 4 bicimindedir Azalan kuvvetlere gore sıralanırsa
P(x) 2x4 + 3x2 3x + 4 dur
P(x) in derecesi 4 olarak bulunur
Polinomlarda bazı ozel carpımlar vardır Bunlara ozdeşlikler de denir Bu carpımları ezbere bilmek gerekir Bunları tersinden kullanarak carpanlara ayırmaları yaparız
OZDEŞLİKLER :
1) (x – y) (x + y) x2 – y2
2) (x – y) (x2 + xy + y + y2
3) (x – y) (x3 + x2y + xy2 + y4) x4 – y4
4) Genel olarak
(x–y) (xn–1 + xn–2y + xn–2 y2 ++ xyn–2 + yn–1) xn–yn dir
5) x + y ≠ 0 koşulu ile
(x + y)0 1
(x + y)1 x + y
(x + y)2 x2 + 2xy + y2
(iki terimli toplamın karesi: birincinin karesi + birinci ile ikincinin carpımının iki katı + ikincinin karesidir)
(x + y)3 x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(İki terimin toplamının kupunu siz yukarıdaki gibi ifade edin
(x + y)4 x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 dur
Terimlerde xin uzeri bir azalırken y nin uzeri bir artarak sıra ile yazıldığına dikkat ediniz Kat sayıları paskal ucgeninden bulunur
Paskal ucgeni:
Orneğin (x + y)5 in acılımı istense 5 derece (6 sıra) karşısında bulunan sayılar sıra ile katsayı olarak alınırlar ve,
(x+y)5 x5 + 5xy4 + 10x3Y2 + 10x2y3 5xy4 + y5 olarak bulunur
6) x – y ≠ 0 icin
(x – y)0 1
(x – y)1 x – y
(x – y)2 x2 – 2xy + y2
(x – y)3 x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
alıntı