SAYILAR
Sayılar, sayı sistemi adı bahşedilen bir sistem ile sınıflara ayrılmışlardır Bu sistem oluşumuna tarafından (sırasıyla) :
1) Doğal Sayılar
2) Tam Sayılar
3) Mantıklı Sayılar
4) Gerçel (Hakiki) Sayılar
şeklinde sıralanabilir
1) Doğal Sayılar
Çoğunlukla düşünülecek olursa en sık kullanılan sayı çeşididir Her insan bazı durumlarda bir şeyler saymak isteyebilir İşte derhal her insanın kullandığı rakam çeşidi bu sayılardır
Hepimiz doğal sayıların ne olduğunu sezgisel olarak biliyoruz; 0,1,2,…,m,… Öteki tüm sayı sistemleri doğal sayılar yardımıyla oluşturulmaktadır Bu yüzden ilk önce bu sayıları tanımlayarak başlayalım:
Ilk birkaç tane doğal sayıyı şöyle oluşturabiliriz:
0 Ø
1 0
2 0,1
3 0,1,2
Başka bir ifadeyle bu sayılar* olarak gösterilebilir Ancak bütün doğal sayıları düşünecek olursak hepsini bu biçimde ifade etmek ilerledikçe daha da zorlaşacaktır O halde şöyle bir gösterimi kullanabiliriz:
Ilk doğal sayının Ø olduğunu ve tanımlanan bir* doğal sayısı için bu sayıdan sonradan gelen ilk doğal sayının* olacağını gördük Şimdi birkaç tanım yapalım:
Tanımlama
A bir küme olmak üzere A ’nın ardışığı
biçiminde tanımlanan* kümesi olsun diyelim
Bu tanınma tarafından doğal sayıları* olarak alabileceğimiz görülür Bu yolla istenen m doğal sayısına ulaşılabilir Ama bu yöntem doğal sayılar kümesini hazırlamak için tatmin edici değildir Böyle bir kümenin varlığı bu şekilde gösterilemez Çünkü şimdiye değin yaptıklarımızla anlamsız kümeyi bulunduran ve bir A kümesini kapsadığında kümesini de kapsayan bir küme var mıdır? sorusu şuan için yanıtsız kalmaktadır
Betimleme
almak üzere* için* koşulunu gerçekleyen bir X kümesine ardıllı küme adı verilir
Bu tanımı verdikten daha sonra yukarıdaki soruya aşağıdaki “ölümsüzlük aksiyomu ile olumlu bir cevap verebiliriz:
Belit ( Sonsuzluk Aksiyomu )
Bir ardıllı küme vardır
Bu aksiyoma kadar anlıyoruz ki bir ardıllı küme baki çoklukta öğe içermektedir O halde diyebiliriz ama doğal sayılar kümesi, bütün ardıllı kümelerin, kümelerdeki kapsama tarafından, en küçüğü olarak alabiliriz Bu tanımı yapmadan önce şu teoreme bakalım:
Teorem
Bütün ardıllı kümelerin kesişimi tekrar bir ardıllı kümedir
Kanıt:
Tanımlama
Bütün ardıllı kümelerin kesişimi olan N kümesine doğal sayılar kümesi denir N kümesinin elemanlarına da doğal sayılar ismi verilir
2) Bütün Sayılar
Yukarıda doğal sayıları anlatmıştık Doğal sayılar kümesi üstünde tanımlanan bazı denklemlerin çözüm kümeleri mevcut değildir Örneğin, x bilinmez bir rakam elde etmek üzere x + 3 8 denklemini sağlayan x bilinmeyenini saptamak istersek laf konusu denklemin N üzerindeki çözümü x 5 olduğu açıktır
öte yandan x + 4 6 denklemini N içinde çözemeyiz çünkü bu denklemin çözümü olan x bilinmeyeni bir negatif sayıdır ve N kümesinde negatif rakam bulunmadığı için elimizdeki denklemin N kümesinde bir çözümü yoktur İşte bu sebeple N kümesini genişletme zorunluluğu doğmuştur oysa bahsi geçen ve ona aynı denklerim çözümü bulunabilsin
Her bir doğal sayıyı, iki doğal sayının farkı olarak değişik şekillerde yazabiliriz Örneğin 4 sayısını
40, 51, 62, …
olarak yazabiliriz Birinci terimden ikinci terimin çıkarıldığı bu ifadelere
(4,0), (5,1), (6,2), …
şeklinde seri ikililer karşılık getirecek olursak bu art arda ikililerin iki taraflı özelliği (a,b), (c,d) gibi herhangi iki birbirini izleyen ikili için
a + d b + c
şeklinde olmasıdır 4 için yapılan bu işlemin öteki tüm doğal sayılar için de tekrarlanabileceği açıktır Doğal sayılar için uygulanan bu yöntemi bir adım ileri taşırsak şöyle bir bağıntıyı tanımlamamız gerekmektedir:
Betimleme
N x N üstünde bir* bağıntısı* için
(a,b) (c,d) a + d b + c
olarak tanımlansın N x N üzerindeki bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğu zahmetsizce gösterilebilir (N x N) eşitlik bölükleri kümesine tamsayılar kümesi adı verilir ve Z ile gösterilir Z ’nin (a,b) gibi bir eşitlik bölüğüne de bir tamsayı denir ve kısalık olması açısından
a,b (a,b)
gösterimi kullanılabilir
3) Akılcı Sayılar
Şimdiye dek tanımladığımız iki sayı sistemi kimi denklemleri çözmek için hala eksik kalmaktadır Mesela 5x 3 denklemini ele alalım Bu denklemin çözümü* ile* eşitsizliklerinin müşterek çözümünden elde edilir Bunlardan ilkinin çözümüne Ç* ve diğerine de Ç** diyecek olursak
bulunur Yer Alan bu iki çözüm kümesinin ara kesiti olan* olduğuna kadar Z içinde 5x 3 denkleminin çözümü yoktur
Teorem
Z* Z edinmek üzere
Z x Z* üzerinde* için (m,n) ~ (p,r) mr np ile tanımlanan ~ bağıntısı bir eşlik bağıntısıdır
Ispat
1 (m,n) Z x Z için (m,n) ~ (m,n) olur çünkü mn nm dir
2 (m,n) ~ (p,r) ise mr np ve pn rm* (p,r) ~ (m,n) dir
3 (m,n) ~ (p,r) ve (p,r) ~ (m,n) ise mr np ve ps rk dir p 0 ise m 0 r çıkar Bu durumda ms nk (m,n) ~ (k,s) dir p 0 ise m(ps) m(rk) (mr)k (np)k (ms)p (nk)p ms nk (m,n) ~ (n,r) olarak istenen elde edilir
Tarif
(Z x Z* )~ denklik bölükleri kümesine akla yatkın sayılar kümesi denir ve Q ile gösterilir Q kümesinin herhangi bir elemanına da mantıklı rakam denir
Örneğin* elemanını taşıyan bir denklik bölüğünü (m,n) ile gösterirsek,
(0,1), (1,3), (0,5) birer akla yatkın sayı olacaktır
4) Gerçel Sayılar
xx 2 olacak biçimde hiçbir* rasyonel sayısının olmadığını gösterelim:
Aksine xx 2 olacak şekilde bir* rasyonel sayısının bulunduğunu düşünelim Burada* sayılarının 1 den başka müşterek böleninin bulunmadığını varsayabiliriz Hemen
bulunur 2|2n olduğundan 2|m ve buradan da 2|m bulunur O halde m 2p* olmalıdır Bu bilgiyi* eşitliğinde kullanırsak* dir Böylece m 2p, n 2q eşitlikleri yukarıdaki düşünce ile çelişmektedir O halde xx 2 olacak şekilde hiçbir rasyonel sayısı yoktur
Yukarıdaki örnekte görüldüğü üzere* denklemi için, daha önce tanımlanan sayı sistemlerini düşündüğümüzde, bir çözüm bulamadık Denklemin çözümü olan* olarak göstereceğimiz sayıyı sayılar ekseni üstünde gösterebileceğimize göre rasyonel sayılar kümesi de bir takım denklemlerin çözümü için beceriksiz kalmaktadır Bu yüzden Gerçel (Hakiki) Sayıları tanımlayalım
Tanım
Bir* akılcı sayılar kümesi
Betimleme
Dedekind kesimlerine gerçel sayılar denir ve gerçel sayılar kümesi R ile gösterilir
Sayılar, sayı sistemi adı bahşedilen bir sistem ile sınıflara ayrılmışlardır Bu sistem oluşumuna tarafından (sırasıyla) :
1) Doğal Sayılar
2) Tam Sayılar
3) Mantıklı Sayılar
4) Gerçel (Hakiki) Sayılar
şeklinde sıralanabilir
1) Doğal Sayılar
Çoğunlukla düşünülecek olursa en sık kullanılan sayı çeşididir Her insan bazı durumlarda bir şeyler saymak isteyebilir İşte derhal her insanın kullandığı rakam çeşidi bu sayılardır
Hepimiz doğal sayıların ne olduğunu sezgisel olarak biliyoruz; 0,1,2,…,m,… Öteki tüm sayı sistemleri doğal sayılar yardımıyla oluşturulmaktadır Bu yüzden ilk önce bu sayıları tanımlayarak başlayalım:
Ilk birkaç tane doğal sayıyı şöyle oluşturabiliriz:
0 Ø
1 0
2 0,1
3 0,1,2
Başka bir ifadeyle bu sayılar* olarak gösterilebilir Ancak bütün doğal sayıları düşünecek olursak hepsini bu biçimde ifade etmek ilerledikçe daha da zorlaşacaktır O halde şöyle bir gösterimi kullanabiliriz:
Ilk doğal sayının Ø olduğunu ve tanımlanan bir* doğal sayısı için bu sayıdan sonradan gelen ilk doğal sayının* olacağını gördük Şimdi birkaç tanım yapalım:
Tanımlama
A bir küme olmak üzere A ’nın ardışığı
biçiminde tanımlanan* kümesi olsun diyelim
Bu tanınma tarafından doğal sayıları* olarak alabileceğimiz görülür Bu yolla istenen m doğal sayısına ulaşılabilir Ama bu yöntem doğal sayılar kümesini hazırlamak için tatmin edici değildir Böyle bir kümenin varlığı bu şekilde gösterilemez Çünkü şimdiye değin yaptıklarımızla anlamsız kümeyi bulunduran ve bir A kümesini kapsadığında kümesini de kapsayan bir küme var mıdır? sorusu şuan için yanıtsız kalmaktadır
Betimleme
almak üzere* için* koşulunu gerçekleyen bir X kümesine ardıllı küme adı verilir
Bu tanımı verdikten daha sonra yukarıdaki soruya aşağıdaki “ölümsüzlük aksiyomu ile olumlu bir cevap verebiliriz:
Belit ( Sonsuzluk Aksiyomu )
Bir ardıllı küme vardır
Bu aksiyoma kadar anlıyoruz ki bir ardıllı küme baki çoklukta öğe içermektedir O halde diyebiliriz ama doğal sayılar kümesi, bütün ardıllı kümelerin, kümelerdeki kapsama tarafından, en küçüğü olarak alabiliriz Bu tanımı yapmadan önce şu teoreme bakalım:
Teorem
Bütün ardıllı kümelerin kesişimi tekrar bir ardıllı kümedir
Kanıt:
Tanımlama
Bütün ardıllı kümelerin kesişimi olan N kümesine doğal sayılar kümesi denir N kümesinin elemanlarına da doğal sayılar ismi verilir
2) Bütün Sayılar
Yukarıda doğal sayıları anlatmıştık Doğal sayılar kümesi üstünde tanımlanan bazı denklemlerin çözüm kümeleri mevcut değildir Örneğin, x bilinmez bir rakam elde etmek üzere x + 3 8 denklemini sağlayan x bilinmeyenini saptamak istersek laf konusu denklemin N üzerindeki çözümü x 5 olduğu açıktır
öte yandan x + 4 6 denklemini N içinde çözemeyiz çünkü bu denklemin çözümü olan x bilinmeyeni bir negatif sayıdır ve N kümesinde negatif rakam bulunmadığı için elimizdeki denklemin N kümesinde bir çözümü yoktur İşte bu sebeple N kümesini genişletme zorunluluğu doğmuştur oysa bahsi geçen ve ona aynı denklerim çözümü bulunabilsin
Her bir doğal sayıyı, iki doğal sayının farkı olarak değişik şekillerde yazabiliriz Örneğin 4 sayısını
40, 51, 62, …
olarak yazabiliriz Birinci terimden ikinci terimin çıkarıldığı bu ifadelere
(4,0), (5,1), (6,2), …
şeklinde seri ikililer karşılık getirecek olursak bu art arda ikililerin iki taraflı özelliği (a,b), (c,d) gibi herhangi iki birbirini izleyen ikili için
a + d b + c
şeklinde olmasıdır 4 için yapılan bu işlemin öteki tüm doğal sayılar için de tekrarlanabileceği açıktır Doğal sayılar için uygulanan bu yöntemi bir adım ileri taşırsak şöyle bir bağıntıyı tanımlamamız gerekmektedir:
Betimleme
N x N üstünde bir* bağıntısı* için
(a,b) (c,d) a + d b + c
olarak tanımlansın N x N üzerindeki bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğu zahmetsizce gösterilebilir (N x N) eşitlik bölükleri kümesine tamsayılar kümesi adı verilir ve Z ile gösterilir Z ’nin (a,b) gibi bir eşitlik bölüğüne de bir tamsayı denir ve kısalık olması açısından
a,b (a,b)
gösterimi kullanılabilir
3) Akılcı Sayılar
Şimdiye dek tanımladığımız iki sayı sistemi kimi denklemleri çözmek için hala eksik kalmaktadır Mesela 5x 3 denklemini ele alalım Bu denklemin çözümü* ile* eşitsizliklerinin müşterek çözümünden elde edilir Bunlardan ilkinin çözümüne Ç* ve diğerine de Ç** diyecek olursak
bulunur Yer Alan bu iki çözüm kümesinin ara kesiti olan* olduğuna kadar Z içinde 5x 3 denkleminin çözümü yoktur
Teorem
Z* Z edinmek üzere
Z x Z* üzerinde* için (m,n) ~ (p,r) mr np ile tanımlanan ~ bağıntısı bir eşlik bağıntısıdır
Ispat
1 (m,n) Z x Z için (m,n) ~ (m,n) olur çünkü mn nm dir
2 (m,n) ~ (p,r) ise mr np ve pn rm* (p,r) ~ (m,n) dir
3 (m,n) ~ (p,r) ve (p,r) ~ (m,n) ise mr np ve ps rk dir p 0 ise m 0 r çıkar Bu durumda ms nk (m,n) ~ (k,s) dir p 0 ise m(ps) m(rk) (mr)k (np)k (ms)p (nk)p ms nk (m,n) ~ (n,r) olarak istenen elde edilir
Tarif
(Z x Z* )~ denklik bölükleri kümesine akla yatkın sayılar kümesi denir ve Q ile gösterilir Q kümesinin herhangi bir elemanına da mantıklı rakam denir
Örneğin* elemanını taşıyan bir denklik bölüğünü (m,n) ile gösterirsek,
(0,1), (1,3), (0,5) birer akla yatkın sayı olacaktır
4) Gerçel Sayılar
xx 2 olacak biçimde hiçbir* rasyonel sayısının olmadığını gösterelim:
Aksine xx 2 olacak şekilde bir* rasyonel sayısının bulunduğunu düşünelim Burada* sayılarının 1 den başka müşterek böleninin bulunmadığını varsayabiliriz Hemen
bulunur 2|2n olduğundan 2|m ve buradan da 2|m bulunur O halde m 2p* olmalıdır Bu bilgiyi* eşitliğinde kullanırsak* dir Böylece m 2p, n 2q eşitlikleri yukarıdaki düşünce ile çelişmektedir O halde xx 2 olacak şekilde hiçbir rasyonel sayısı yoktur
Yukarıdaki örnekte görüldüğü üzere* denklemi için, daha önce tanımlanan sayı sistemlerini düşündüğümüzde, bir çözüm bulamadık Denklemin çözümü olan* olarak göstereceğimiz sayıyı sayılar ekseni üstünde gösterebileceğimize göre rasyonel sayılar kümesi de bir takım denklemlerin çözümü için beceriksiz kalmaktadır Bu yüzden Gerçel (Hakiki) Sayıları tanımlayalım
Tanım
Bir* akılcı sayılar kümesi
Betimleme
Dedekind kesimlerine gerçel sayılar denir ve gerçel sayılar kümesi R ile gösterilir