ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler
ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler konu anlatımı









İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM

TANIM: a, b, c reel sayı ve a# 0 olmak uzere , ax2x+c 0 ifadesine , x e gore duzenlenmiş ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir Denklemi sağlayan (eğer varsa) x reel sayılarına denklemin kokleri, tum koklerin oluşturduğu kumeye denklemin cozum kumesi, cozum kumesini bulmak icin yapılan işleme de denklem cozme denir
ORNEK:4x2 –7x+6 0 ifadesi x e bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir•Bu denklemde; a 4, b 7 ve c 6 dır
ORNEK: 2y2 –5y+1 0
İfadesi y ye bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir
Bu denklemde; a 2, b 5 ve c 1 dir


ORNEK: ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 0
Denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna gore, a kactır?

COZUM: ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 0
(a+4)x3 + 3x2 –ax –2 0
Denkleminin ikinci dereceden bir denklem olması icin denklemde x3 lu terim olmamalıdır
O halde, a + 4 0 a 4 olur

KOK BULMA
1ax2 + bx + c 0
ifadesi carpanlarına ayrılabiliyorsa her carpan sıfıra eşitlenerek kokler bulunur
ORNEK: x1 x1
x3 + x5 0
Denkleminin kokleri x1 ,x2 olduğuna gore x1 + x2 toplamı kactır?

COZUM: x1 x1
x3 + x5 0
(x1) (x5) + (x1) (x3) 0
(x1) (x5 + x3) 0
(x1) (2x – 8) 0
x1 0 x1 1 veya 2x8 0
x2 4 tur
x1 + x2 1 + 4 5
ORNEK: 4x + 2 42x –18 0 denkleminin kokleri toplamı kactır?

COZUM: 4x + 2 42x –18 0
4x + 2 42 4x –18 0
1
4x + 32 4x –18 0
(4x)2 –18 (4x ) + 32 0

16 2
(4x –16) (4x –2) 0
4x –16 0 4x 16 x1 2
1
4x –2 0 4x 2 x2 2
1 5
O halde, x1 + x2 2+ 2 2 olur

a≠ 0
ax2 + bx + c 0 denkleminde;

c
i) a + b + c 0 ise koklerden biri 1, diğeri a dır

c
ii) b a + c ise koklerden biri 1 , diğeri a dır

ORNEK: 9x2 + 17x + 8 0 denkleminde;
a 9, b 17 , c 8
b a + c olduğundan bu denklemin kokleri
x1 1 ve x2 8 dur
9
nORNEK: (m + 2)x2 + (m – n + 2)x –n 0
ikinci derece denkleminin koklerinden biri 6 ise, bu denklemin kokleri toplamı kactır?
COZUM: (m + 2)x2 + (m – n + 2)x –n 0 denkleminde,
a m + 2, b m –n + 2, c n ve
b a + c olduğundan denklemin koklerinden biri 1 dir
Diğer kok 6 olduğundan kokler toplamı
1 + 6 5 olur
nax2 + bx + c 0 ( a ≠ 0 )
ndenkleminin koklerini ∆ (diskriminant) yontemi ile bulabiliriz
n∆ b2 –4ac
ni) ∆ 0 ise reel kok yoktur
nii) ∆ 0 ise kokler eşittir (x1 x2)
niii) ∆ 0 ise iki farklı reel kok vardır
n ∆ 0 olmak uzere denklemin kokleri
n b + b
n x1 2a ve x2 2a şeklinde bulunur

nORNEK: x2 – 4x + m + 1 0 denkleminin eşit iki kokunun olması icin m kac olmalıdır?

COZUM: Denklemin eşit iki kokun olması icin ∆ 0 olmalıdır
∆ (4)2 –4 1 (m + 1)
0 16 –4m 12 –4m
m 3 bulunur

nORNEK: (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 0 a ≠ 1 olmak uzere
ndenklemin kokleri eşit olduğuna gore, a nın alabileceği değerler toplamı kactır? (1998 OSYS)

COZUM: (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 0
denklemin kokleri eşit ise ∆ 0 olmalıdır
∆ 4 (a + 7)2 –4 27 (a + 1)
0 a2 + 14a + 49 – 27a –27
a2 13a + 22 0
Bu denklemi sağlayan a değerlerinin toplamı
(13)
a1 + a2 1 13 olur
a ≠ 0, ax2 + bx + c 0 denkleminin;
i) Simetrik iki kokunun olması icin b 0 olmalıdır
ii) Simetrik iki reel kokunun olması icin,
b 0 ve a c 0 olmalıdır

ORNEK: ax2 – (a2 –4 )x + 4 0
denkleminin simetrik iki reel koku olduğuna gore, a kactır?

COZUM: ax2 – (a2 –4 )x + 4 0
Denkleminin simetrik iki reel kokunun olması icin,
a2 –4 0 ve 4 a 0 olmalıdır
a2 –4 0 a 2 ve a 2 dir
4a 0 a 0 olmalıdır O halde a 2 olur

KOKLER İLE KATSAYILAR ARASINDAKİ BAĞINTI
ax2 + bx + c 0 ikinci derece denkleminin kokleri x1 ve x2 olsun
b
1)x1 + x2 a
c2)x1 x2 a

3)|x1 x2| |a|

1 1 x1 + x2 b
4)x1 + x2 x1 x2 c
5)X12 + x22 (x1 + x2 )2 –2x1x2
b2 – 2ac
a2

6)1 1 x12 + x22
x12 +x22 x12 X22
b2 –2ac
c2
7)x13 + x23 (x1 + x2)3 –3x x2(x + x2)
3abcb3
a3

ORNEK: 2x2 –5x + p2 + q2 0 denkleminin kokleri p ve q olduğuna gore, diskriminantı kactır?

COZUM: 2x2 –5x + p2 + q2 0 denkleminde
a 2, b 5, c p2 + q2, x1 p, x2 q
c p2 + q2
x1 x2 a p q 2
2pq p2 + q2 p2 –2pq + q2 0
(p – q)2 0 ise
p – q 0
p q dur
O halde, kokler eşit olduğundan ∆ 0 dır

ORNEK: x2 –2x + a 0 denkleminin kokleri x1 ve x2 olduğuna gore
a nın hangi değeri icin x1 + x2 + x1 x2 5 olur?

COZUM: x2 –2x + a 0 denkleminin kokleri x1 ve x2 ise
x1 + x2 2 ve x1 x2 a dır O halde,
x1 + x2 + x1 x2 5 2 + a 5 a 3 bulunur

ORNEK: x2 + (x1 + 4)x –3x2 0 denklemin kokleri sıfırdan farklı olan x1 ve x2 sayılarıdır

COZUM: x2 + (x1 + 4)x –3x2 0 denkleminde, a 1, b x1+4, c 3x2
c x1x2 a x1x2 3x2 x1 3 tur
b
x1 + x2 a x1 + x2 x1 –4
x2 2x1 –4
x2 2(3) –4
x2 2 olur
O halde, denklemin buyuk koku x2 2 olur
KOKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI
a ≠ 0 olmak uzere, kokleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem:
a (x – x1) (x – x2) 0 dir Bu denklem duzenlenirse,
x2 –(x1 + x2) x + x1 x2 0 denklemi elde edilir

ORNEK: Kokleri –2 ve 3 olan ikinci dereceden denklem nedir?

COZUM: Kokleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem
x2 –(x1 + x2) x + x1 x2 0 dır
x1 2 ve x2 3 ise denklem:
x2 – (2 + 3)x + (2) 3 0
x2 –x 6 0 olur

EŞİTSİZLİK COZUMLERİ f(x)
f(x) 0, f(x) g(x) 0, g(x) ≤ 0 vb eşitsizliklerinin her birini cozebilmek icin aşağıdaki basamaklar sırasıyla uygulanmalıdır:
1)Her bir carpan sıfıra eşitlenerek kokleri bulunur
2)Bulunan koklerin sayı adedi incelenir
aBir kokun sayı adedi tek ise, bu koke tek katlı kok denir ve sayı doğrusunda tek cizgi ile gosterilir
bBir kokun sayı adedi cift ise bu koke cift katlı kok denir ve sayı doğrusunda cift cizgi ile gosterilir
3)Bulunan kokler, sayı doğrusunda kucukten buyuğe sıralanır ve tekcift katlı kokleri belirtilir
4)Her bir carpanın en buyuk dereceli teriminin işareti parantezinin kuvveti ile birlikte alınarak carpılır ve bir işaret bulunur
5)Bulunan işaret ile sayı doğrusunun en sağından (+∞ tarafından) başlanır Tek katlı koklerden gecerken işaret değiştirilir ve cift katlı koklerden gecerken işaret değiştirilmez
Boylece tablodan istenen bolgeler bulunur

ORNEK: (x1) (3x) ≥ 0 eşitsizliğinin cozum kumesi nedir?

COZUM:
1)x1 0 x 1 3x 0 x 3
2)x 1 ve x 3 birer tane olduğundan tek katlı koklerdir
3) x ∞ 1 3 +∞
+

0 0

(+)() ()
CK

ORNEK: (x+2) (x2)
x + 1 ≤ 0
COZUM:
1)x + 2 0 x 2
x –2 0 x 2
x + 1 0 x 1
2)x 2, x 2 ve x 1 kokleri birer tane olduğundan, tek katlı koklerdir



3) x ∞ 2 1 2 +∞
+ +

0 ∞ 0

4)(+) (+) (+) (+)
C dir


Eşitsizliklerde n € Z olmak uzere, (x – a)2n ya da |x a| ifadeleri her zaman pozitif olacağından işleme alınmayabilir Bu durumda, sadece iclerini sıfır yapan noktalar incelenmelidir


(3 –x)2
x2 + 3x –4 ≤ 0

eşitsizliğini cozmek yerine
x2 + 3x –4 0
eşitsizliğini cozmek yeterlidir
Ayrıca, (3 –x)2 0 olabilmesi icin x 3 olmalıdır
x ∞ 4 1 +∞
x2 + 3x –4 + +
İstenen eşitsizliğin cozum kumesi ise,
C (4, 1) U olur

İcinde birden fazla eşitsizlik bulunduran ifadelere eşitsizlik sistemi denir
Eşitsizliklerin hepsini aynı anda sağlayan değerlerin bulunduğu kumeye eşitsizlik sisteminin cozum kumesi denir
eşitsizlik sisteminin cozumu icin, her bir eşitsizlik ayrı ayrı cozulur ve ortak cozum kumesi bulunur

nORNEK: (x –2) (4 –x) ≤ 0
(1 –x) (5 +x) ≥ 0
eşitsizlik sisteminin cozum kumesi nedir?
COZUM: (x2) (4x) 0 x 2, x 4
(1x) (5+x) 0 x 1, x 5

Şimdide her birinin ayrı ayrı işaretini inceleyelim
x ∞ 5 1 2 4 +∞
(x2)(4x) +

(1x)(5+x) +

İşaret tablosunda gorulduğu gibi, birinci eşitsizliğin (), ikinci eşitsizliğin (+) olduğu bolge 5, 1 aralığıdır O halde, cozum kumesi C 5, 1 dir

i)ax2 + bx + c 0
eşitsizliğinin daima sağlanması icin
a 0 ve ∆ b2 – 4ac (m –2)2 –4(m –2) (m –1) 0
(m –2) (m –2 –4m + 4) 0
(m –2) (3m + 2) 0
(m –2) (3m + 2) ifadesinin işaret tablosuna bakılırsa,
2
m ∞ 3 2 +∞

+

(m –2) (3m + 2) 0 eşitsizliğinin cozum kumesi m 3 veya m 2dir2
1 ve 2 yi sağlayan m değerleri m 2 dur
3

BİR k REEL SAYISININ İKİNCİ DERECE DENKLEMİNİN KOKLERİYLE KARŞILAŞTIRILMASI
nf(x) ax2 + bx +c denkleminin kokleri arasında x1 x2 ve k € R olsun
ni) x1 k x2 ise a f(k) 0 dır
nii) k x1 x2 ise,
a) ∆ 0 b) a f(k) 0 c) k b olmalıdır
2aniii) x1 x2 k ise
a) ∆ 0
b) a f(k) 0 c) k b olmalıdır
2a

iv) a f(k) 0 ise, k koklerden birine eşittir Bu durumda aşağıdaki uc maddeye bakılır

b
a)k 2a ise x1 k x2
b
b)k 2a ise k x1 x2
b
c)k 2a ise k x1 x2 dir olur

ORNEK: x2 –(m + 1)x + m 0 denkleminin
0 x1 2 x2 koşulunu sağlayan iki kokunun olması icin m hangi aralıkta olmalıdır?

COZUM: f(x) x2 –(m + 1)x + m
x1 2 x2 a f(2) 0
1 (22 –2m –2 + m) 0
m + 2 0 m 2 dır

ORNEK: (p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p –2) 0 denkleminin gercel kokleri x1 ve x2 dir
x1 0 x2 , |x1| x2 olması icin pnin alabileceği değerler nedir?

COZUM: Denkleminin kokleri x1 0 x2 , |x1| x2 şartlarını sağladığına gore,
x1x2 0 ve x1 + x2 0 dır
c 5(p – 2)
x1x2 a p + 6 0 (1)
b 17(p + 1)
x1 + x2 a p + 6 0(2)
(p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p –2) 0

p 6 1 2

x1x2 + +
x1 + x2 +
C
C (1 , 2) dir