Kesir Nedir,Kesir Nelerden Oluşur,Kesirler konu anlatımı
Kesir Nedir Nelerden Oluşur
KESİRLER
Kesirleri genellikle, bir butunun parcaları olarak duşunuruz Gercekten de kesir sozcuğu, kırma, parcalamaanlamındaki Arapca kesrsozcuğunden gelir Orneğin, bir kalıp cikolatayı dort eşit parcaya ayırırsak, her parca butunun bir kesri olur; bu ornekte, cikolata kalıbının dortte birlik (14) kesrine ceyrek denir
Kesirlerden ikisinin kendine ozgu adı vardır: Yarım ve ceyrek Bunların dışında kalan butun kesirler, butunun kac parcaya ayrıldığını (bolunduğunu) gosteren bir sayıya gore adlandırılır Orneğin, bir kalıp cikolatayı 24 eşit parcaya bolerseniz, her parca butun kalıbın 24'te 1'i (124) olur
İlk orneğimizdeki ceyrek parcalardan ucunu ele alırsak, bunu uc ceyrek (34) olarak adlandırabiliriz
Uc ceyrek, bir ceyreğin uc katıdır
34 3x14
Ama, 34'u elde etmenin tek yolu bu değildir Eğer elimizde uc kalıp cikolata olsaydı ve bunları dort kişi arasında eşit olarak paylaştırmak isteseydik şoyle yapabilirdik:
Boylece herkesin payına bir kalıbın 34'une eşdeğer miktarda cikolata duşerdi Yani, ucu dorde bolduğumuzde de 34 elde ederiz
3÷4 34
Uc cikolata kalıbının her birini ceyrek (dortte birlik) parcalara ayırıp herkese her kalıptan birer ceyrek de verebilirdik
Demek ki, iki paylaştırma yontemiyle de aynı sonucu elde ederiz:
3÷4 3x14 34
Yalnızca nesnelerin değil, sayıların da kesirlerini bulabiliriz Orneğin 20'nin 34'unu bulmak icin cikolatalara uyguladığımız yontemlerin aşağı yukarı aynısını uygulayabiliriz Once 20'nin dortte birini bulur; sonra da bunlardan 3 tanesini alabiliriz 20'nin dortte birini (ceyreğini) bulmak icin 20'yi dort eşit parcaya boleriz Bu durumu da bir cizimle gosterebiliriz:
Şoyle de soyleyebiliriz:
20'nin 14'u 20÷4 5
20'nin 34'unu bulmak icin de 5'in 3 katını alırız
3x5 15
20'nin 34'u 15
Yaptığımız, 20'yi 4'e bolup 3'le carpmaktır:
20'nin 34'u (20÷4)x3
5x3 15
Aslında bu işlemi, bir başka yoldan, yani işlem sırasını değiştirerek de yapabiliriz: Once 20'yi 3'le carpar, sonra da 4'e bolebiliriz
20'nin 34'u (20x3)÷4
60÷4
15
Bunu bir başka bicimde daha ifade edebiliriz: 20'nin 34'u, 20'nin uc ceyreği demektir O zaman uc kere 20 bolu dordun kac edeceğini buluruz
20'nin 34'u 3x (20÷4) 3x5 15
Bu işlemi,
20'nin 34'u (3x20)÷4 60÷4 15
biciminde yazmak da tamamıyla aynı şeydir Kesirleri bu kadar karmaşık gosteren de bu değişik duşunme bicimleridir
Kesirler başka bicimde de kullanılabilir Eğer 10 soruluk bir testte yedi doğru yanıtınız varsa, oğretmeniniz 10 sorudan yedisini doğru yaptığınızı, 710 yazarak gosterebilir Bu gercekte soruların 10'da 7'sini doğru yanıtladığınız anlamına gelir
Ama, bu noktada dikkatli olmak gerekir Eğer, ikinci bir testte de 10 sorudan sekizini doğru yanıtlamışsanız, bunun sonucu da 810 olarak gosterilebilir Peki, o zaman her iki testteki toplam sorulann kacta kacını doğru yanıtlamış olursunuz? Elbette, 20 sorudan toplam olarak 15'ini, bir başka deyişle, sorulann 20'de 15'ini (1520) doğru yanıtlamış olursunuz Ama, bunu bulabilmek icin, aşağıda anlatılacak olan kesirlerin toplanmasına ilişkin kuralları uygulayarak, iki ayrı kesri toplamayı denerseniz elde edeceğiniz sonuc, 710+810 1510'dur
İlk bakışta, 10 sorudan 15'ini doğru yapmışsınız gibi bir gorunum ortaya cıkıyor ki, bu olanaksızdır Ama eğer, 10'da 15'in, 1 tam 12 demek olduğunu gorebilirsek bu sonucu başka turlu de değerlendirebiliriz Bu konuda aşağıdaki cizim bize yardımcı olacaktır
Bu durumda, doğru yanıtlarınızın 1 tam 12 teste eşdeğer olduğu soylenebilir; cunku, bir tam test 10 soru, bir yarım test 5 soru olduğuna gore, sizin toplam 15 doğrunuz, gercekten de 1 tam 12
test, yani bir testin 10'da 15'i (1510) eder
Orantılar ve Eşdeğer Kesirler
Kesirler, orantıları tanımlamak icin kullanılabilir Şu iki dikdortgeni ele alalım:
Ustteki dikdortgenin alanı 3 cm2, alttakinin ise 5 cm2'dir Bu iki alanın birbirine oranı 3 bolu 5'tir, bu orantıyı 35 biciminde yazabiliriz Bu bize, aynı zamanda, kucuk dikdortgenin otekinin beşte ucu buyukluğunde olduğunu da gosterir (Buyuğun kucuğe oranının da 5 bolu 3 olduğunu soyleyebilir ve bunu 53 biciminde yazabiliriz Demek ki buyuk dikdortgen otekinin ucte beşi buyukluğundedir)
Alanları, kareler yerine, ucgenlerle olctuğumuzu varsayalım
Kucuk dikdortgendeki ucgenlerin buyuktekilere oranı 10'da 6 ya da 610'dur Ama, alanlar değişmediğine gore, oranların da aynı kalması gerekir Demek ki:
35 610
yazabiliriz Her kareyi istediğimiz sayıda parcaya bolebiliriz
Burada oran 1220 biciminde yazılabilir; oyleyse
35 610 1220'dir
Aslında, her kareyi aynı bicimde bolduğumuz zaman, her dikdortgendeki kare sayısını aynı sayıyla carpmış oluyoruz; bu nedenle de oran hep aynı kalır Boylece sonucta, her biri aynı
oranı gosteren bir kesirler kumesi elde ederiz:
35 610 1220 1525
Yamacların eğimlerini tanımlamak icin de kesirlerden yararlanabiliriz 10'da 3'luk (310) eğim şoyle gosterilebilir:
Dikdortgenlerin alanlarını olduğu gibi, duşey ve yatay uzunluklarını olcmek icin de istediğimiz herhangi bir birimi kullanabiliriz Eğer birincinin yarısı buyukluğunde ikinci bir birim secersek, aynı uzunluğa sığabilecek birim sayısı da iki katma cıkar
Eğimimiz 20'de 6 (620) biciminde yazılabilir Ama eğim değişmediğine gore;
310 620'dir
Aynı şeyi temsil eden kesirlere eşdeğer kesirler denir Cikolata parcalarını da aynı bicimde birbirine oranlayabiliriz:
Buna gore,
34 68'dir
kesirlerde Toplama ve Cıkarma
Kesirler, belki de toplanması en zor olan şeylerdir Eğer kesirler yeterince basitse, orneğin12+14 34 olduğunu şoyle bir cizimle gosterebiliriz:
Daha zor toplamaları yapabilmek icin, onemli olan kesirlerin paydalarını eşitlemektir (Bolum cizgisinin altında kalan sayıya payda denir) Orneğin, 13, 14 ve 15'i toplayabilmek icin her uc kesri de, paydaları 60 olacak bicimde yazarız; bir başka deyişle her uc buyukluğu de 60'ın kesirleri olarak ifade ederiz
13 2060
14 1560
15 1260
Şimdi bolum cizgisinin ustunde kalan sayılar (paylar) toplanabilir
13+14+15 2060+1560+1260
4760
Kesirlerin cıkarılması da aynı yontemle, butun kesirler ortak paydaya getirilerek yapılabilir Ama kesirlerle cok fazla hesap yapmak zorundaysanız, bunları onlu sayı sistemine cevirebilir ve bir hesap makinesi kullanabilirsiniz
alıntıdır
Kesir Nedir Nelerden Oluşur
KESİRLER
Kesirleri genellikle, bir butunun parcaları olarak duşunuruz Gercekten de kesir sozcuğu, kırma, parcalamaanlamındaki Arapca kesrsozcuğunden gelir Orneğin, bir kalıp cikolatayı dort eşit parcaya ayırırsak, her parca butunun bir kesri olur; bu ornekte, cikolata kalıbının dortte birlik (14) kesrine ceyrek denir
Kesirlerden ikisinin kendine ozgu adı vardır: Yarım ve ceyrek Bunların dışında kalan butun kesirler, butunun kac parcaya ayrıldığını (bolunduğunu) gosteren bir sayıya gore adlandırılır Orneğin, bir kalıp cikolatayı 24 eşit parcaya bolerseniz, her parca butun kalıbın 24'te 1'i (124) olur
İlk orneğimizdeki ceyrek parcalardan ucunu ele alırsak, bunu uc ceyrek (34) olarak adlandırabiliriz
Uc ceyrek, bir ceyreğin uc katıdır
34 3x14
Ama, 34'u elde etmenin tek yolu bu değildir Eğer elimizde uc kalıp cikolata olsaydı ve bunları dort kişi arasında eşit olarak paylaştırmak isteseydik şoyle yapabilirdik:
Boylece herkesin payına bir kalıbın 34'une eşdeğer miktarda cikolata duşerdi Yani, ucu dorde bolduğumuzde de 34 elde ederiz
3÷4 34
Uc cikolata kalıbının her birini ceyrek (dortte birlik) parcalara ayırıp herkese her kalıptan birer ceyrek de verebilirdik
Demek ki, iki paylaştırma yontemiyle de aynı sonucu elde ederiz:
3÷4 3x14 34
Yalnızca nesnelerin değil, sayıların da kesirlerini bulabiliriz Orneğin 20'nin 34'unu bulmak icin cikolatalara uyguladığımız yontemlerin aşağı yukarı aynısını uygulayabiliriz Once 20'nin dortte birini bulur; sonra da bunlardan 3 tanesini alabiliriz 20'nin dortte birini (ceyreğini) bulmak icin 20'yi dort eşit parcaya boleriz Bu durumu da bir cizimle gosterebiliriz:
Şoyle de soyleyebiliriz:
20'nin 14'u 20÷4 5
20'nin 34'unu bulmak icin de 5'in 3 katını alırız
3x5 15
20'nin 34'u 15
Yaptığımız, 20'yi 4'e bolup 3'le carpmaktır:
20'nin 34'u (20÷4)x3
5x3 15
Aslında bu işlemi, bir başka yoldan, yani işlem sırasını değiştirerek de yapabiliriz: Once 20'yi 3'le carpar, sonra da 4'e bolebiliriz
20'nin 34'u (20x3)÷4
60÷4
15
Bunu bir başka bicimde daha ifade edebiliriz: 20'nin 34'u, 20'nin uc ceyreği demektir O zaman uc kere 20 bolu dordun kac edeceğini buluruz
20'nin 34'u 3x (20÷4) 3x5 15
Bu işlemi,
20'nin 34'u (3x20)÷4 60÷4 15
biciminde yazmak da tamamıyla aynı şeydir Kesirleri bu kadar karmaşık gosteren de bu değişik duşunme bicimleridir
Kesirler başka bicimde de kullanılabilir Eğer 10 soruluk bir testte yedi doğru yanıtınız varsa, oğretmeniniz 10 sorudan yedisini doğru yaptığınızı, 710 yazarak gosterebilir Bu gercekte soruların 10'da 7'sini doğru yanıtladığınız anlamına gelir
Ama, bu noktada dikkatli olmak gerekir Eğer, ikinci bir testte de 10 sorudan sekizini doğru yanıtlamışsanız, bunun sonucu da 810 olarak gosterilebilir Peki, o zaman her iki testteki toplam sorulann kacta kacını doğru yanıtlamış olursunuz? Elbette, 20 sorudan toplam olarak 15'ini, bir başka deyişle, sorulann 20'de 15'ini (1520) doğru yanıtlamış olursunuz Ama, bunu bulabilmek icin, aşağıda anlatılacak olan kesirlerin toplanmasına ilişkin kuralları uygulayarak, iki ayrı kesri toplamayı denerseniz elde edeceğiniz sonuc, 710+810 1510'dur
İlk bakışta, 10 sorudan 15'ini doğru yapmışsınız gibi bir gorunum ortaya cıkıyor ki, bu olanaksızdır Ama eğer, 10'da 15'in, 1 tam 12 demek olduğunu gorebilirsek bu sonucu başka turlu de değerlendirebiliriz Bu konuda aşağıdaki cizim bize yardımcı olacaktır
Bu durumda, doğru yanıtlarınızın 1 tam 12 teste eşdeğer olduğu soylenebilir; cunku, bir tam test 10 soru, bir yarım test 5 soru olduğuna gore, sizin toplam 15 doğrunuz, gercekten de 1 tam 12
test, yani bir testin 10'da 15'i (1510) eder
Orantılar ve Eşdeğer Kesirler
Kesirler, orantıları tanımlamak icin kullanılabilir Şu iki dikdortgeni ele alalım:
Ustteki dikdortgenin alanı 3 cm2, alttakinin ise 5 cm2'dir Bu iki alanın birbirine oranı 3 bolu 5'tir, bu orantıyı 35 biciminde yazabiliriz Bu bize, aynı zamanda, kucuk dikdortgenin otekinin beşte ucu buyukluğunde olduğunu da gosterir (Buyuğun kucuğe oranının da 5 bolu 3 olduğunu soyleyebilir ve bunu 53 biciminde yazabiliriz Demek ki buyuk dikdortgen otekinin ucte beşi buyukluğundedir)
Alanları, kareler yerine, ucgenlerle olctuğumuzu varsayalım
Kucuk dikdortgendeki ucgenlerin buyuktekilere oranı 10'da 6 ya da 610'dur Ama, alanlar değişmediğine gore, oranların da aynı kalması gerekir Demek ki:
35 610
yazabiliriz Her kareyi istediğimiz sayıda parcaya bolebiliriz
Burada oran 1220 biciminde yazılabilir; oyleyse
35 610 1220'dir
Aslında, her kareyi aynı bicimde bolduğumuz zaman, her dikdortgendeki kare sayısını aynı sayıyla carpmış oluyoruz; bu nedenle de oran hep aynı kalır Boylece sonucta, her biri aynı
oranı gosteren bir kesirler kumesi elde ederiz:
35 610 1220 1525
Yamacların eğimlerini tanımlamak icin de kesirlerden yararlanabiliriz 10'da 3'luk (310) eğim şoyle gosterilebilir:
Dikdortgenlerin alanlarını olduğu gibi, duşey ve yatay uzunluklarını olcmek icin de istediğimiz herhangi bir birimi kullanabiliriz Eğer birincinin yarısı buyukluğunde ikinci bir birim secersek, aynı uzunluğa sığabilecek birim sayısı da iki katma cıkar
Eğimimiz 20'de 6 (620) biciminde yazılabilir Ama eğim değişmediğine gore;
310 620'dir
Aynı şeyi temsil eden kesirlere eşdeğer kesirler denir Cikolata parcalarını da aynı bicimde birbirine oranlayabiliriz:
Buna gore,
34 68'dir
kesirlerde Toplama ve Cıkarma
Kesirler, belki de toplanması en zor olan şeylerdir Eğer kesirler yeterince basitse, orneğin12+14 34 olduğunu şoyle bir cizimle gosterebiliriz:
Daha zor toplamaları yapabilmek icin, onemli olan kesirlerin paydalarını eşitlemektir (Bolum cizgisinin altında kalan sayıya payda denir) Orneğin, 13, 14 ve 15'i toplayabilmek icin her uc kesri de, paydaları 60 olacak bicimde yazarız; bir başka deyişle her uc buyukluğu de 60'ın kesirleri olarak ifade ederiz
13 2060
14 1560
15 1260
Şimdi bolum cizgisinin ustunde kalan sayılar (paylar) toplanabilir
13+14+15 2060+1560+1260
4760
Kesirlerin cıkarılması da aynı yontemle, butun kesirler ortak paydaya getirilerek yapılabilir Ama kesirlerle cok fazla hesap yapmak zorundaysanız, bunları onlu sayı sistemine cevirebilir ve bir hesap makinesi kullanabilirsiniz
alıntıdır