Prizmaların Alan Ve Hacimleri
Prizmalarda Alan ve Hacim Hesaplaması
Alt ve ust tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir Yan yuzeyleri taban duzlemine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir
AA'BB'CC'DD'
yanal ayrıtlardır
Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yuksekliğine eşittir
Cismin yuksekliğine h dersek
h |AA| |BB| |CC| |DD| olur
Prizmanın Hacmi
Hacim Taban Alanı x Yukseklik
Dik prizmanın taban bicimi nasıl olursa olsunyanal yuzeyi daima bir dikdortgen olur Yanal yuzu oluşturan dikdortgenin alt kenarı tabanın cevresi kadardır Diğer kenarı ise h yuksekliği kadar olur
Yanal Alan Taban cevresi x Yukseklik
Butun dik prizmaların yanal alanı taban cevresi ile yuksekliğin carpımıdır Butun Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır
Tum Alan Yanal Alan + 2 Taban Alanı
1 Dikdortgenler Prizması
Dikdortgenler prizması yan yuzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdortgenden oluşan prizmadır Burada hacimtaban alanı olan (ab) ile yukseklik olan (c) nin carpımıdır Alan ise (ab)(bc) ve (ac) yuzey alanlarının ikişer katlarının toplamıdır Dikdortgenler prizmasında birbirine en uzak iki koşeyi birleştiren doğru parcasına cisim koşegeni denir
Cisim koşegeni daima prizmanın icinden gecer Yuzeylerinden gecmez Sadece bir yuzeyden gecen koşegene o yuze ait yuzey koşegeni denir Burada koşegenlerin uzunlukları
|AC| |AC| |BD| |BD| e (cisim koşegeni)
|BD| f (Yuzey koşegeni) olsun Bu durumda
Hacim abc
Alan 2(abc+ac)
Alan 2 (ab + bc + ac)
Cisim Koşegeni: e Oa2 + b2 + c2
Yuzey Koşegeni: f Oa2 + b2
2 Kare Prizma
Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir Yan yuzu dort adet eş dikdortgenden oluşur
Hacim a2 h
Yanal Alan 4 a h
Alan 4ah + 2a2
Cisim koşegeni : e Oa2 + a2 + h2
3 Kup
Butun ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya kup denir Tum yuzeyleri kare dir
Hacim a3
Alan 6a2
Kubun yuzey koşegenleri birbirine eşittir
Yuzey koşegeni: f aO2
Cisim koşegeni: e aO3
4 Ucgen Prizmalar
Prizmalar tabanlarının şekline gore isim aldıklarından tabanı ucgen olan prizmalara ucgen prizma denir
Ucgen prizmalar tabanını oluşturan ucgene gore isimlenir
a Eşkenar Ucgen Prizma
Eşkenar ucgen prizmanın tabanları eşkenar ucgendir Yan yuzeyleri ise uc tane eş dikdortgenden oluşurTabanı eşkenar ucgen olduğundan
Tabanı eşkenar ucgen olduğundan
Taban alanı
Hacim
Taban cevresi 3a olduğundanyanal alan 3ah dır
Buradan tum alanı
Tum alan
b Dik Ucgen Prizma
Dik ucgen prizmanın tabanı dik ucgendir Yan yuzeyleri ise uc tane dikdortgenden oluşur
Tabanı dik ucgen olduğundan
Taban alanı
Hacim
Taban cevresi a + b + c olduğundan
Yanal alan (a + b + c) h
Tum Alan b c + (a + b + c) h
5 Silindir
Tabanı daire olan prizmalara silindir denir Silindirin yan yuzu dikdortgen bicimindedir Dikdortgenin bir kenarı yukseklik kadardiğer kenarı ise taban dairesinin cevresi kadardır
Taban alanı pr2
Hacim pr2h
Taban cevresi 2pr olduğundan yanal alan 2prh olur
Tum alan 2prh+ 2pr
Bir dikdortgen levha bir kenarı etrafında dondurulduğunde silindir elde edilir
6 Duzgun Cokgen Prizmalar
Tabanı duzgun cokgenlerden oluşan prizmalara duzgun cokgen prizmalar deriz Taban ayrıtları birbirine eşittir Diğer dik prizmalarda olduğu gibi duzgun cokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yuksekliktir
* Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsunhacmin taban alanı ile yuksekliğin carpımı ve yanal alanın ise taban cevresi ile yuksekliğin carpımı olduğunu unutmayalım
EĞİK PRİZMALAR
1 Eğik Kare Prizma
Tabanıbir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yone doğru taban duzlemi ile a acısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir
Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek
Prizmanın yuksekliği h l sin a olur
Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde oluşan kesitine dik kesit denir Eğik kare prizmanın iki yan yuzeyi dikdortgendiğer iki yan yuzeyi ise paralelkenardır
Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban kenarı a kadardiğeri ise
a asin a kadardır
Buradan;
Dik Kesit Alanı Taban Alanı x Sin a
Dik kesit cevresi 2a +2asin a
Eğik prizmaların yanal alanlarının toplamı
Yanal alan Dik kesit cevresi x Yanal Ayrıt
bağıntısı ile bulunur Alt ve ust tabanlar ilave edildiğinde tum alan bulunmuş olur Butun prizmalarda olduğu gibi eğik prizmalarda da hacimtaban alanı ile yuksekliğin carpımı ile bulunur
Hacim Taban Alanı x Yukseklik
Ayrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın carpımı ile de hacim bulunabilir
Hacim Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
2 Eğik Silindir
|AA| |BB| l
Yanal ayrıtı l olan ve taban duzlemi ile a acısı yapan eğik silindirde yukseklik
h lsin a
Dik Kesit Alanı Taban Alanı x Sin a
Eğik silindirin yan yuz alanıdik kesit cevresi ile yanal ayrıtının carpımıdır Butun eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de de hacimdik kesit alanı ile yanal ayrıtın carpımına eşittir
Hacim Taban Alanı x Yukseklik
Hacim Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
Yanal Alan Dik Kesit Cevresi x Yanal Ayrıt
PRİZMALARIN OZELLİKLERİ
DİK PRİZMALAR
Tabanları birbirine eş herhangi bir cokgen ve yan yuzeyleri taban duzlemlerine dik birer dikdortgen olan cisimlere dik prizmalar denir Prizmalar taban şekillerine gore adlandırılırlar Orneğin kare dik prizmaucgen dik prizma gibi
Dik Prizmanın Ozellikleri
1) Alt ve ust tabanları eş ve paraleldir
2) Yan yuzeyleri dikdortgenlerden oluşmuştur
3) Yan ayrıtları aynı zamanda dik prizmaların yuksekliğidir
4) Bir dik prizmanın yanal alanıtaban cevresi ile yuksekliğin carpımına eşittir
5) Bir dik prizmanın tum alanıyanal alanı ile iki taban alanının toplamına eşittir
6) Bir dik prizmanın hacmitaban alanı ile yuksekliğin carpımına eşittir
7) Bir dik prizmanın; koşe sayısı Kyuz sayısı Yayrıt sayısı A ile gosterilirse bunlar arasında K+YA Z bağıntısı vardır
A) Kare Dik Prizma
Tabanı kare olan dik prizmaya kare dik prizma denir Kare prizmanın alt ve ust tabanları birbirine eş iki kareyan yuzeyleri ise birbirine eş dikdortgenlerdir
Taban Cevresi 4aTaban Alanı a2 Yanal Alanı 4 ah
Butun Alanı : A 2 Ta + Ya
2a2 + 4 ah 2a (a+2h)
Hacim a2 h Cismin koşegeninin uzunluğu : k
B) KUP
Butun yuzleri karesel bolge olan dik prizmaya kup denir
Taban Cevresi 4aTaban Alanı a2 Yanal Alan 4a2
Butun Alan 2 Ta + Ya Hacmi a3Yuzey Koşegeni a
2 a2 + 4 a2 6 a2 Cisim Koşegeni a
C) DİKDORTGENLER PRİZMASI
Butun yuzeyleri dikdortgen olan dik prizmaya dikdortgenler prizması denir
Taban Cevresi 2(a)Taban Alanı ab
Yanal Alanı 2(a)cButun Alan 2(ab+acc)
Hacmi abcCisim Koşegeni
D) UCGEN DİK PRİZMA
Tabanı ucgen olan dik prizmayaucgen dik prizma denir
Sayfa 226 ucgen prizma ekle
Tabanları ucgen ve bu ucgenler birbirine eştir
Yan yuzeyleri dikdortgendir
Yanal ayrıtlar eş ve birbirine paraleldir
Taban cevresi a+cTaban alanı (a+c)h
Butun alanı 2Ta+YaHacmi Ta x h
E) DUZGUN ALTIGEN DİK PRİZMA
Tabanı altıgen olan dik prizmayaduzgun altıgen dik prizma denir
Yan yuzeyleri birbirine eş 6 dikdortgenden oluşur
Tabanlarındaki altıgen 6 eş kenar ucgeninin birleşmesinden oluşur
Taban alanı 6 Yanal alan 6ah
Butun alan 2Ta + YaHacmi Ta h
23 ak + 6 ah 3 ak h
6 a(k + h)
F) DİK SİLİNDİR
Bir dikdortgensel bolgenin kenarlarından biri etrafında 360o dondurulmesiyle oluşan cisme dik silindir denir
Dik silindir tabanları birbirine eş daireler olan bir dik prizmadır
Tabanının yarı capı ryuksekliği h olan dik silindirin;
r2 Taban alanı rhYanal alanı 2
Butun alanı 2 Ta + YaHacmi r2h
2) PİRAMİTDİK KONİ VE KURE
Evin catısı gibi cisimler piramide; dondurma kulahı gibi cisimler koniyetop gibi cisimlerde kureye benzetilebilir
Not : Prizmaların ikişer tabanı olduğu haldepiramit ve koninin bir tabanı vardır Bu ozellik piramit ile prizmaları birbirinden ayıran en onemli ozelliktir
A) PİRAMİT
Tabanı cokgenyanal yuzleri ise ortak bir tepe noktasında birleşen ucgenlerden oluşan yuzlulere denir Piramitler de prizmalar gibi tabanlarına gore adlandırılırlar Orneğin; tabanı ucgen olan piramide ucgen piramit denir
Duzgun piramitlerin ozellikleri
Taban bir duz cokgendir
Prizmalarda Alan ve Hacim Hesaplaması
Alt ve ust tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir Yan yuzeyleri taban duzlemine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir
AA'BB'CC'DD'
yanal ayrıtlardır
Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yuksekliğine eşittir
Cismin yuksekliğine h dersek
h |AA| |BB| |CC| |DD| olur
Prizmanın Hacmi
Hacim Taban Alanı x Yukseklik
Dik prizmanın taban bicimi nasıl olursa olsunyanal yuzeyi daima bir dikdortgen olur Yanal yuzu oluşturan dikdortgenin alt kenarı tabanın cevresi kadardır Diğer kenarı ise h yuksekliği kadar olur
Yanal Alan Taban cevresi x Yukseklik
Butun dik prizmaların yanal alanı taban cevresi ile yuksekliğin carpımıdır Butun Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır
Tum Alan Yanal Alan + 2 Taban Alanı
1 Dikdortgenler Prizması
Dikdortgenler prizması yan yuzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdortgenden oluşan prizmadır Burada hacimtaban alanı olan (ab) ile yukseklik olan (c) nin carpımıdır Alan ise (ab)(bc) ve (ac) yuzey alanlarının ikişer katlarının toplamıdır Dikdortgenler prizmasında birbirine en uzak iki koşeyi birleştiren doğru parcasına cisim koşegeni denir
Cisim koşegeni daima prizmanın icinden gecer Yuzeylerinden gecmez Sadece bir yuzeyden gecen koşegene o yuze ait yuzey koşegeni denir Burada koşegenlerin uzunlukları
|AC| |AC| |BD| |BD| e (cisim koşegeni)
|BD| f (Yuzey koşegeni) olsun Bu durumda
Hacim abc
Alan 2(abc+ac)
Alan 2 (ab + bc + ac)
Cisim Koşegeni: e Oa2 + b2 + c2
Yuzey Koşegeni: f Oa2 + b2
2 Kare Prizma
Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir Yan yuzu dort adet eş dikdortgenden oluşur
Hacim a2 h
Yanal Alan 4 a h
Alan 4ah + 2a2
Cisim koşegeni : e Oa2 + a2 + h2
3 Kup
Butun ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya kup denir Tum yuzeyleri kare dir
Hacim a3
Alan 6a2
Kubun yuzey koşegenleri birbirine eşittir
Yuzey koşegeni: f aO2
Cisim koşegeni: e aO3
4 Ucgen Prizmalar
Prizmalar tabanlarının şekline gore isim aldıklarından tabanı ucgen olan prizmalara ucgen prizma denir
Ucgen prizmalar tabanını oluşturan ucgene gore isimlenir
a Eşkenar Ucgen Prizma
Eşkenar ucgen prizmanın tabanları eşkenar ucgendir Yan yuzeyleri ise uc tane eş dikdortgenden oluşurTabanı eşkenar ucgen olduğundan
Tabanı eşkenar ucgen olduğundan
Taban alanı
Hacim
Taban cevresi 3a olduğundanyanal alan 3ah dır
Buradan tum alanı
Tum alan
b Dik Ucgen Prizma
Dik ucgen prizmanın tabanı dik ucgendir Yan yuzeyleri ise uc tane dikdortgenden oluşur
Tabanı dik ucgen olduğundan
Taban alanı
Hacim
Taban cevresi a + b + c olduğundan
Yanal alan (a + b + c) h
Tum Alan b c + (a + b + c) h
5 Silindir
Tabanı daire olan prizmalara silindir denir Silindirin yan yuzu dikdortgen bicimindedir Dikdortgenin bir kenarı yukseklik kadardiğer kenarı ise taban dairesinin cevresi kadardır
Taban alanı pr2
Hacim pr2h
Taban cevresi 2pr olduğundan yanal alan 2prh olur
Tum alan 2prh+ 2pr
Bir dikdortgen levha bir kenarı etrafında dondurulduğunde silindir elde edilir
6 Duzgun Cokgen Prizmalar
Tabanı duzgun cokgenlerden oluşan prizmalara duzgun cokgen prizmalar deriz Taban ayrıtları birbirine eşittir Diğer dik prizmalarda olduğu gibi duzgun cokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yuksekliktir
* Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsunhacmin taban alanı ile yuksekliğin carpımı ve yanal alanın ise taban cevresi ile yuksekliğin carpımı olduğunu unutmayalım
EĞİK PRİZMALAR
1 Eğik Kare Prizma
Tabanıbir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yone doğru taban duzlemi ile a acısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir
Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek
Prizmanın yuksekliği h l sin a olur
Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde oluşan kesitine dik kesit denir Eğik kare prizmanın iki yan yuzeyi dikdortgendiğer iki yan yuzeyi ise paralelkenardır
Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban kenarı a kadardiğeri ise
a asin a kadardır
Buradan;
Dik Kesit Alanı Taban Alanı x Sin a
Dik kesit cevresi 2a +2asin a
Eğik prizmaların yanal alanlarının toplamı
Yanal alan Dik kesit cevresi x Yanal Ayrıt
bağıntısı ile bulunur Alt ve ust tabanlar ilave edildiğinde tum alan bulunmuş olur Butun prizmalarda olduğu gibi eğik prizmalarda da hacimtaban alanı ile yuksekliğin carpımı ile bulunur
Hacim Taban Alanı x Yukseklik
Ayrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın carpımı ile de hacim bulunabilir
Hacim Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
2 Eğik Silindir
|AA| |BB| l
Yanal ayrıtı l olan ve taban duzlemi ile a acısı yapan eğik silindirde yukseklik
h lsin a
Dik Kesit Alanı Taban Alanı x Sin a
Eğik silindirin yan yuz alanıdik kesit cevresi ile yanal ayrıtının carpımıdır Butun eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de de hacimdik kesit alanı ile yanal ayrıtın carpımına eşittir
Hacim Taban Alanı x Yukseklik
Hacim Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
Yanal Alan Dik Kesit Cevresi x Yanal Ayrıt
PRİZMALARIN OZELLİKLERİ
DİK PRİZMALAR
Tabanları birbirine eş herhangi bir cokgen ve yan yuzeyleri taban duzlemlerine dik birer dikdortgen olan cisimlere dik prizmalar denir Prizmalar taban şekillerine gore adlandırılırlar Orneğin kare dik prizmaucgen dik prizma gibi
Dik Prizmanın Ozellikleri
1) Alt ve ust tabanları eş ve paraleldir
2) Yan yuzeyleri dikdortgenlerden oluşmuştur
3) Yan ayrıtları aynı zamanda dik prizmaların yuksekliğidir
4) Bir dik prizmanın yanal alanıtaban cevresi ile yuksekliğin carpımına eşittir
5) Bir dik prizmanın tum alanıyanal alanı ile iki taban alanının toplamına eşittir
6) Bir dik prizmanın hacmitaban alanı ile yuksekliğin carpımına eşittir
7) Bir dik prizmanın; koşe sayısı Kyuz sayısı Yayrıt sayısı A ile gosterilirse bunlar arasında K+YA Z bağıntısı vardır
A) Kare Dik Prizma
Tabanı kare olan dik prizmaya kare dik prizma denir Kare prizmanın alt ve ust tabanları birbirine eş iki kareyan yuzeyleri ise birbirine eş dikdortgenlerdir
Taban Cevresi 4aTaban Alanı a2 Yanal Alanı 4 ah
Butun Alanı : A 2 Ta + Ya
2a2 + 4 ah 2a (a+2h)
Hacim a2 h Cismin koşegeninin uzunluğu : k
B) KUP
Butun yuzleri karesel bolge olan dik prizmaya kup denir
Taban Cevresi 4aTaban Alanı a2 Yanal Alan 4a2
Butun Alan 2 Ta + Ya Hacmi a3Yuzey Koşegeni a
2 a2 + 4 a2 6 a2 Cisim Koşegeni a
C) DİKDORTGENLER PRİZMASI
Butun yuzeyleri dikdortgen olan dik prizmaya dikdortgenler prizması denir
Taban Cevresi 2(a)Taban Alanı ab
Yanal Alanı 2(a)cButun Alan 2(ab+acc)
Hacmi abcCisim Koşegeni
D) UCGEN DİK PRİZMA
Tabanı ucgen olan dik prizmayaucgen dik prizma denir
Sayfa 226 ucgen prizma ekle
Tabanları ucgen ve bu ucgenler birbirine eştir
Yan yuzeyleri dikdortgendir
Yanal ayrıtlar eş ve birbirine paraleldir
Taban cevresi a+cTaban alanı (a+c)h
Butun alanı 2Ta+YaHacmi Ta x h
E) DUZGUN ALTIGEN DİK PRİZMA
Tabanı altıgen olan dik prizmayaduzgun altıgen dik prizma denir
Yan yuzeyleri birbirine eş 6 dikdortgenden oluşur
Tabanlarındaki altıgen 6 eş kenar ucgeninin birleşmesinden oluşur
Taban alanı 6 Yanal alan 6ah
Butun alan 2Ta + YaHacmi Ta h
23 ak + 6 ah 3 ak h
6 a(k + h)
F) DİK SİLİNDİR
Bir dikdortgensel bolgenin kenarlarından biri etrafında 360o dondurulmesiyle oluşan cisme dik silindir denir
Dik silindir tabanları birbirine eş daireler olan bir dik prizmadır
Tabanının yarı capı ryuksekliği h olan dik silindirin;
r2 Taban alanı rhYanal alanı 2
Butun alanı 2 Ta + YaHacmi r2h
2) PİRAMİTDİK KONİ VE KURE
Evin catısı gibi cisimler piramide; dondurma kulahı gibi cisimler koniyetop gibi cisimlerde kureye benzetilebilir
Not : Prizmaların ikişer tabanı olduğu haldepiramit ve koninin bir tabanı vardır Bu ozellik piramit ile prizmaları birbirinden ayıran en onemli ozelliktir
A) PİRAMİT
Tabanı cokgenyanal yuzleri ise ortak bir tepe noktasında birleşen ucgenlerden oluşan yuzlulere denir Piramitler de prizmalar gibi tabanlarına gore adlandırılırlar Orneğin; tabanı ucgen olan piramide ucgen piramit denir
Duzgun piramitlerin ozellikleri
Taban bir duz cokgendir