Rasyonel sayılar ile tam sayıların farkları ve ortak yonleri nelerdir?

Rasyonel sayılar ile tam sayıların farkları ve ortak yonleri nelerdir?

Rasyonel sayılar ile tam sayıların Farkları ve Ortak Yonleri

1RASYONEL SAYILAR VE OZELLİKLERİ
lA)Rasyonel Sayılar:Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kumeye rasyonel sayı denirRasyonel sayıların meydana getirdiği kumelere rasyonel sayılar kumesi denirRasyonel sayılar kumesi “Q ile gosterilir

NOT:Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir
OR:
Yandaki şekilde,bir butun 4 eş parcaya
bolunmuş ve bu eş pacalardan uc tanesi taranmıştır

3
4

Taralı bolge,butunun uc tane parcası(kesri)dirBu parcaları belirten kesir, 3 biciminde gosterilir
4
3 kesrinde; 3 ’e pay,4 ’e payda denir: 3 kesri, “uc bolu dort ya da “dortte uc diye okunur

NOTıfırdan buyuk olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan kucuk rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir

Pozitif rasyonel sayılar kumesi “Q+ile gosterilir Negatif rasyonel sayılar kumesiQ“ile gosterilir


Q Q U U Q+








1
B)Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (buyukluk ,kucukluk)
1Paydaları eşit olan rasyonel sayılar:
Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı buyuk olan daha buyuk,payı kucuk olan daha kucuktur

OR: 15 , 7 , 3 3 7 15
20 20 20 20 20 20

Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidirPayı buyuk olan negatif rasyonel sayılar kucuk,payı kucuk olan negatif rasyonel sayılar buyuktur
OR: 15 , 7 , 3 15 7 3
20 20 20 20 20 20

2Payları eşit olan rasyonel sayılar:
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası kucuk olan daha buyuk, paydası buyuk olan daha kucuktur

OR: 7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 3 5 9

Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidirPaydası buyuk olan negatif rasyonel sayılar buyuk paydası kucuk olan negatif rasyonel sayılar kucuktur

OR: 7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 9 5 3

3Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar:
Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bolunerek sıralama yapılır
OR: 18 , 7 , 48 18:3 6 48 7 18
3 4 57 7:4 1,75 57 4 3
48:57 0,84


2



Arada olma
İki rasyonel sayı arasına bir yada birkac rasyonel sayı yerleştirmeye denir
OR: 2 ile 4
3 5

IYOL: 2 4 II:YOL:2 4 IIIYOL: 1 2 4
3 5 3 5 2 3 5
2

1 2 4 1 10 12 1 22 22
2 3 5 2 15 15 2 15 30


OR: 5 ile 7 1 5 7 1 15 14
4 6 2 4 6 2 12 12

1 29 29
2 12 24

5 29 7
4 24 6
Cİrrasyonel sayılar:
Sayı doğrusu uzerinde goruntusu olmasına karşın,rasyonel olmayan
gibi sayılara irrasyonel sayılar denirİrrasyonel sayıların oluşturduğu kumeye irrasyonel sayılar kumesi denir
Gercek (reel) sayılar kumesi:Rasyonel sayılar kumesi ile irrasyonel sayıların birleşim kumesine gercek (reel) sayılar kumesi denirGercek
sayılar kumesi ,sayı ekseninin her noktasını doldururSayı doğrusu uzerinde her noktaya bir gercek sayı her gercek sayıya da bir nokta karşılık gelir
Gercek sayılar kumesi,R sembolu ile gosterilir
3


2RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse ,paydalar eşitlenirPayların mutlak değerleri toplamı paya yazılırOrtak payda,paydaya yazılırtoplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir

Tam sayılı kesirler toplanırken ,bu kesirler bileşik kesre cevrilerek toplama işlemi yapılır

OR: +3 +7 +3 +35 +3 +38
5 1 5 35 3 5

b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenirpayların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılırOrtak payda ,paydaya yazılırtoplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri buyuk olan rasyonel sayının işaretidir

OR: 1 2 1 20 24 15
3 5 4 60 60 60


+20+2415)
60

+4415)
60

29
60




4
3RASYONEL SAYILAR KUMESİNDE TOPLAMA
İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ

a)Kapalılık ozelliği:İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kumesi toplama işlemine gore kapalıdır

OR: 2 + 2 4 +2 2
3 6 6 6 6

b)Değişme ozelliği:Rasyonel sayılar kumesinde,toplama işleminin değişme ozelliği vardır

OR: 4 +1 8 +7 1
7 2 14 14 14

+1 4 +7 8 1
2 7 14 14 14

4 +1 +1 4
7 2 2 7

c)Birleşme ozelliği:rasyonel sayılar kumesinde toplama işleminin birleşme ozelliği vardır

OR: 4 3 1 4 4 8
5 5 5 5 5 5

4 3 1 7 1 8
5 5 5 5 5 5

4 3 1 4 3 1
5 5 5 5 5 5





5
d)Etkisiz (birim) eleman ozelliği:0tam sayısına,rasyonel sayılar kumesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir
OR: 7 7 7 7
9 9 9 9

buna gore;

7 7
9 9


e)Ters eleman ozelliği:Toplamları “0tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine gore birbirinin tersi denir

OR: +5 5
20 20

5 +5
20 20

4RASYONEL SAYILARDA CIKARMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının farkı bulunurken,eksilen rasyonel sayı,cıkan rasyonel sayının toplama işlemine gore tersi ile toplanır

OR: +3 +1 +3 1 +18 5 +13
5 6 5 6 30 30 30



OR: +7 +5 +7 +25
10 2 10 10

+7 25 18
10 10 10



6

Yukarıda verilen orneğe gore iki rasyonel sayının farkı,yine bir rasyonel sayıdırBuna gore ;
Rasyonel sayılar kumesi cıkarma işlemine gore kapalıdır

5RASYONEL SAYILARDA CARPMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının carpma işlemi payların carpımı paya,paydaların carpımı paydaya yazılarak yapılır

NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının carpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının carpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır
Yani:
+ x + +
x +
x +
+ x


OR: 4 +3 (4)x(+3) 12
1 4 1 x 4 4

NOT:Tam sayılı kesir bicminde verilen rasyonel sayılar carpılırken once tam sayılı kesirler bileşik kesre cevrilirSonra carpma işlemi yapılır


6RASYONEL SAYILAR KUMESİNDE CARPMA
İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
a)Kapalılık ozelliği:
İki rasyonel sayının carpımı yine bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kumesi carpma işlemine gore kapalıdır

OR: +3 2 6
4 3 12



7
b)Değişme ozelliği:
Rasyonel sayılar kumesinde carpma işleminin değişme ozelliği vardır

OR: 19 1 +19
20 3 60

1 19 19
3 20 60



c)Birleşme ozelliği:
Rasyonel sayılar kumesinde carpma işleminin değişme ozelliği vardır
OR: +3 2 +1 6 +1 6
1 3 5 3 5 15

+3 2 +1 +3 2 6
1 3 5 1 15 15


d)Yutan eleman:
Bir rasyonel sayının “0sayısı ile carpımı “0dır0sayısına ,carpma işleminin yutan elemanı denir

OR: 7 7
9 9

e)Etkisiz birim eleman:
+1 rasyonel sayısına, carpma işlemine gore etkisiz (birim) eleman denir

OR: +4 +4 +4 +4
3 3 3 3


8
f)Ters eleman:
Carpımları +1 olan iki rasyonel sayıya carpma işlemine gore tersi denir

OR: +2 +3 2 x 3 +1
3 2 3 x 2 1

g)Carpma işleminin toplama işlemi uzerine dağılma ozelliği:
Rasyonel sayılar kumesinde , carpma işleminin toplama işlemi uzerine dağılma ozelliği vardır

OR: +1 +2 +1 +1 +3 +3
2 4 4 2 4 8

+1 +2 +1 +1 +2 +1 +1
2 4 4 2 4 2 4

+2 1 +3
8 8 8

h)Carpma işleminin cıkarma işlemi uzerine dağılma ozelliği:
Rasyonel sayılar kumesinde , carpma işleminin cıkarma işlemi uzerine dağılma ozelliği vardır
OR: 1 2 1 1 1 1
2 4 4 2 4 8

1 2 1 1 2 1 1
2 4 4 2 4 2 4

2 1
8 8

1
8



9
7RASYONEL SAYILARDA BOLME İŞLEMİ
İki rasyonel sayının bolme işlemi yapılırken, bolunene rasyonel sayı , bolen rasyonel sayının carpma işlemine gore tersi ile carpılırElde edilen carpım bolumu verir
NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının bolumu pozitif;ters işaretli ki rasyonel sayının bolumu ise negatif bir rasyonel sayıdır

Yani: + x + +
x +
x +
+ x


OR: 3 +2 3 +4 3
4 4 4 2 2



+1 tam sayısının , bir rasyonel sayıya bolunmesinden elde edilen bolum,bolen rasyonel sayının carpma işlemine gore tersine eşittir

OR: 2 1 7 7
7 1 2 2


(1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bolunmesinden elde edilen bolum bolen rasyonel sayının carpma işlemine gore tersinin ters işaretlisine eşittir

OR: 12 +17 17
17 12 12






10
Bir rasyonel sayının , +1 tamsayısına bolunmesinden elde edilen bolum , rasyonel sayının kendisine eşittir


Bir rasyonel sayının,(1) tamsayısına bolunmesinden elde edilen
bolum , bolunen rasyonel sayının toplama işlemine gore tersine eşittir

OR: 2 2 1 2 1 2
7 7 1 7 1 7

OR: 2 2 1 2 1 2
7 7 1 7 1 7


NOT:Sıfır sayısının , sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bolumu 0 dır


Bir rasyonel sayının sıfıra bolumu taımsızdır
Rasyonel sayılar kumesinde bolme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kumesindeki bolme işleminde olduğu gibi; bolunen bolen x bolum ilişkisi vardır

NOT:Rasyonel sayılar kumesi , bolme işlemine gore kapalıdır

NOT:Rasyonel sayılar kumesinde , bolme işleminin değişme ozelliği yoktur

NOT:Rasyonel sayılar kumesinde , bolme işleminin birleşme ozelliği yoktur

RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER

KESİR

a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak uzere, ab şeklindeki ifadelere kesir adı verilir Burada a' ya kesrin payı, b' ye de kesrin paydası denir Bir başka deyişle, kesir bir butunun eşit parcalarından birini ve birkacını gosteren sayıdır Kesrin paydası, butunun kac eşit parcaya bolunduğunu belirtirken, kesrin payı da bu eşit parcalardan kac tane alındığını gosterir Orneğin, 25 kesri, bir butunun 5 eşit parcaya bolunduğunu ve bu parcalardan 2 parcanın alındığını ifade eder

DENK KESİRLER

a, b, c, d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak uzere, ab ile cd birer kesir ve ad bc ise, ab ile cd kesirlerine denk kesirler denir Orneğin, 35 kesrine denk olan kesirler şoyle yazılabilir:
35, 610, 915, 1220, 1525, , 3m5m,
Burada, m sıfırdan farklı bir tamsayıdır Bir kesrin pay ve paydası, sıfırdan farklı bir tamsayı ile carpılır veya bolunurse, kesrin değeri değişmez Bir kesrin payı ve paydası, aynı sayı ile carpılırsa, buna kesrin genişletilmesi denir Bir kesrin genişletilmesine şoyle ornek verebiliriz:

Şayet bir kesrin pay ve paydası, aynı sayı ile bolunurse, buna da kesrin sadeleştirilmesi denir Bir kesrin sadeleştirilmesine de şoyle ornek verebiliriz:


BAYAĞI KESİR
a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak uzere, ab şeklindeki ifadelere, bayağı kesir denir Bayağı kesirler uce ayrılır:

1 Basit Kesirler:
Payı, paydasından kucuk olan bayağı kesirlerdir Orneğin,
23, 35, 47, 12, 910, 13, 27, 1015,
şeklindeki bayağı kesirlerin tumu, basit kesirdir Bununla birlikte, payı 1 olan basit kesirlere, birim kesirler denir Burada, 12 ile 13 basit kesirlerinin payları 1 olduğu icin, birim kesirlerdir

2 Bileşik Kesirler:
Payı, paydasına eşit veya paydasından buyuk olan bayağı kesirlerdir Orneğin,
32, 53, 74, 2, 109, 3, 72, 1510, 1212,
şeklindeki bayağı kesirlerin tumu, bileşik kesirdir Cunku, bu kesirlerin tumunun payı, paydasından buyuktur

3 Tamsayılı Kesirler:
a, b, c birer doğal sayı ve b c ve a sıfırdan farklı olmak uzere,

şeklinde gosterilen kesirlerdir Yani, tamsayılı kesirler, sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir Orneğin,

kesri, tamsayılı bir kesirdir Buradan, bir tamsayılı kesrin, bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini goruruz Aynı şekilde, bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini soyleyebiliriz Bileşik bir kesri, tamsayılı bir kesre şoyle cevirebiliriz: Kesrin payı, paydasına bolunur, bolum tam kısmını, kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır Orneğin, 115 bileşik kesrini gozonune alalım 11, 5' e bolunurse, bolum 2 ve kalan 1 olduğundan,

şeklinde yazabiliriz
Not: Kesirler, eksili (negatif) de olabilirler

Ornek:

kesrinin basit bir kesir olabilmesi icin, x kac tane değer alır?

Cozum:
Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi icin, payının paydasından kucuk olması gerekir Dolayısıyla, 2x 3 12 olması gerekir x' i yalnız bırakabilmek icin, 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak,
2x 12 + 3
2x 15
x 152
bulunur x doğal sayı olduğuna gore, 152' den kucuk doğal sayılar,
x
dir Bu nedenle, x, bu 8 tane değeri alırsa, kesir basit kesir olur