Rasyonel Sayılar Ve Ozellikleri
Rasyonel Sayılarda Kapalılık Ozelliği Konu Anlatımı
RASYONEL SAYILAR VE OZELLİKLERİ
A)Rasyonel Sayılar
Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kumeye rasyonel sayı denirRasyonel sayıların meydana getirdiği kumelere rasyonel sayılar kumesi denirRasyonel sayılar kumesi Q ile gosterilir
NOT:Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir
Orneğin,
Yandaki şekilde,bir butun 4 eş parcaya bolunmuş ve bu eş pacalardan uc tanesi taranmıştır
Taralı bolge,butunun uc tane parcası(kesri)dirBu parcaları belirten kesir, 3 biciminde gosterilir
3 kesrinde 3'e pay,4'e payda denir: 3 kesri, uc bolu dort ya da dortte uc diye okunur
NOT
Sıfırdan buyuk olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan kucuk rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir
Pozitif rasyonel sayılar kumesi Q+ile gosterilir Negatif rasyonel sayılar kumesiQile gosterilir
Q Q U U Q+
B) Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (buyukluk ,kucukluk)
1Paydaları eşit olan rasyonel sayılar
Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı buyuk olan daha buyuk,payı kucuk olan daha kucuktur
Ornek:
15 , 7 , 3 3 7 15
20 20 20 20 20 20
Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidirPayı buyuk olan negatif rasyonel sayılar kucuk,payı kucuk olan negatif rasyonel sayılar buyuktur
Ornek:
15 , 7 , 3 15 7 3
20 20 20 20 20 20
2Payları eşit olan rasyonel sayılar:
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası kucuk olan daha buyuk, paydası buyuk olan daha kucuktur
Ornek:
7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 3 5 9
Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidirPaydası buyuk olan negatif rasyonel sayılar buyuk paydası kucuk olan negatif rasyonel sayılar kucuktur
3Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar:
Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bolunerek sıralama yapılır
Ornek:
18 , 7 , 48 18:3 6 48 7 18
3 4 57 7:4 1,75 57 4 3
48:57 0,84
Arada olma
İki rasyonel sayı arasına bir yada birkac rasyonel sayı yerleştirmeye denir
IYOL: 2 4
II:YOL:2 4
IIIYOL: 1 2 4
3 5 3 5 2 3 5
2
1 2 4 1 10 12 1 22 22
2 3 5 2 15 15 2 15 30
Ornek:
5 ile 7 1 5 7 1 15 14
4 6 2 4 6 2 12 12
1 29 29
2 12 24
5 29 7
4 24 6
Cİrrasyonel sayılar
Sayı doğrusu uzerinde goruntusu olmasına karşın,rasyonel olmayan
gibi sayılara irrasyonel sayılar denirİrrasyonel sayıların oluşturduğu kumeye irrasyonel sayılar kumesi denir
Gercek (reel) sayılar kumesi
Rasyonel sayılar kumesi ile irrasyonel sayıların birleşim kumesine gercek (reel) sayılar kumesi denirGercek
sayılar kumesi ,sayı ekseninin her noktasını doldururSayı doğrusu uzerinde her noktaya bir gercek sayı her gercek sayıya da bir nokta karşılık gelir
Gercek sayılar kumesi,R sembolu ile gosterilir
2RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ
a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse ,paydalar eşitlenirPayların mutlak değerleri toplamı paya yazılırOrtak payda,paydaya yazılırtoplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir
Tam sayılı kesirler toplanırken ,bu kesirler bileşik kesre cevrilerek toplama işlemi yapılır
b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenirpayların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılırOrtak payda ,paydaya yazılırtoplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri buyuk olan rasyonel sayının işaretidir
Ornek:
1 2 1 20 24 15
3 5 4 60 60 60
+20+2415)
60
+4415)
60
29
60
3RASYONEL SAYILAR KUMESİNDE TOPLAMA İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
a)Kapalılık ozelliği
İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kumesi toplama işlemine gore kapalıdır
b)Değişme ozelliği
Rasyonel sayılar kumesinde,toplama işleminin değişme ozelliği vardır
c)Birleşme ozelliği
rasyonel sayılar kumesinde toplama işleminin birleşme ozelliği vardır
d)Etkisiz (birim) eleman ozelliği
0tam sayısına,rasyonel sayılar kumesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir
e)Ters eleman ozelliği
Toplamları 0tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine gore birbirinin tersi denir
4RASYONEL SAYILARDA CIKARMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının farkı bulunurken,eksilen rasyonel sayı,cıkan rasyonel sayının toplama işlemine gore tersi ile toplanır
Ornek:
+3 +1 +3 1 +18 5 +13
5 6 5 6 30 30 30
5RASYONEL SAYILARDA CARPMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının carpma işlemi payların carpımı paya,paydaların carpımı paydaya yazılarak yapılır
NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının carpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının carpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır
Yani:
(+) x (+) (+)
() x () (+)
() x (+) ()
(+) x () ()
NOT
Tam sayılı kesir bicminde verilen rasyonel sayılar carpılırken once tam sayılı kesirler bileşik kesre cevrilirSonra carpma işlemi yapılır
6RASYONEL SAYILAR KUMESİNDE CARPMA
İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
a)Kapalılık ozelliği
İki rasyonel sayının carpımı yine bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kumesi carpma işlemine gore kapalıdır
Ornek:
+3 2 6
4 3 12
b)Değişme ozelliği
Rasyonel sayılar kumesinde carpma işleminin değişme ozelliği vardır
Ornek:
19 1 +19
20 3 60
1 19 19
3 20 60
c)Birleşme ozelliği
Rasyonel sayılar kumesinde carpma işleminin değişme ozelliği vardır
Ornek:
+3 2 +1 6 +1 6
1 3 5 3 5 15
+3 2 +1 +3 2 6
1 3 5 1 15 15
d)Yutan eleman
Bir rasyonel sayının 0sayısı ile carpımı 0dır0sayısına ,carpma işleminin yutan elemanı denir
e)Etkisiz birim eleman
+1 rasyonel sayısına, carpma işlemine gore etkisiz (birim) eleman denir
f)Ters eleman
Carpımları +1 olan iki rasyonel sayıya carpma işlemine gore tersi denir
g)Carpma işleminin toplama işlemi uzerine dağılma ozelliği:
Rasyonel sayılar kumesinde , carpma işleminin toplama işlemi uzerine dağılma ozelliği vardır
h)Carpma işleminin cıkarma işlemi uzerine dağılma ozelliği:
Rasyonel sayılar kumesinde , carpma işleminin cıkarma işlemi uzerine dağılma ozelliği vardır
7RASYONEL SAYILARDA BOLME İŞLEMİ
İki rasyonel sayının bolme işlemi yapılırken, bolunene rasyonel sayı , bolen rasyonel sayının carpma işlemine gore tersi ile carpılırElde edilen carpım bolumu verir
NOT
Aynı işaretli iki rasyonel sayının bolumu pozitif ters işaretli ki rasyonel sayının bolumu ise negatif bir rasyonel sayıdır
Yani: + x + +
x +
x +
+ x
Ornek:
3 +2 3 +4 3
4 4 4 2 2
(+1) tam sayısının , bir rasyonel sayıya bolunmesinden elde edilen bolum,bolen rasyonel sayının carpma işlemine gore tersine eşittir
Ornek:
2 1 7 7
7 1 2 2
(1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bolunmesinden elde edilen bolum bolen rasyonel sayının carpma işlemine gore tersinin ters işaretlisine eşittir
Bir rasyonel sayının,(1) tamsayısına bolunmesinden elde edilen bolum , bolunen rasyonel sayının toplama işlemine gore tersine eşittir
Rasyonel Sayılarda Kapalılık Ozelliği Konu Anlatımı
RASYONEL SAYILAR VE OZELLİKLERİ
A)Rasyonel Sayılar
Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kumeye rasyonel sayı denirRasyonel sayıların meydana getirdiği kumelere rasyonel sayılar kumesi denirRasyonel sayılar kumesi Q ile gosterilir
NOT:Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir
Orneğin,
Yandaki şekilde,bir butun 4 eş parcaya bolunmuş ve bu eş pacalardan uc tanesi taranmıştır
Taralı bolge,butunun uc tane parcası(kesri)dirBu parcaları belirten kesir, 3 biciminde gosterilir
3 kesrinde 3'e pay,4'e payda denir: 3 kesri, uc bolu dort ya da dortte uc diye okunur
NOT
Sıfırdan buyuk olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan kucuk rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir
Pozitif rasyonel sayılar kumesi Q+ile gosterilir Negatif rasyonel sayılar kumesiQile gosterilir
Q Q U U Q+
B) Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (buyukluk ,kucukluk)
1Paydaları eşit olan rasyonel sayılar
Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı buyuk olan daha buyuk,payı kucuk olan daha kucuktur
Ornek:
15 , 7 , 3 3 7 15
20 20 20 20 20 20
Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidirPayı buyuk olan negatif rasyonel sayılar kucuk,payı kucuk olan negatif rasyonel sayılar buyuktur
Ornek:
15 , 7 , 3 15 7 3
20 20 20 20 20 20
2Payları eşit olan rasyonel sayılar:
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası kucuk olan daha buyuk, paydası buyuk olan daha kucuktur
Ornek:
7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 3 5 9
Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidirPaydası buyuk olan negatif rasyonel sayılar buyuk paydası kucuk olan negatif rasyonel sayılar kucuktur
3Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar:
Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bolunerek sıralama yapılır
Ornek:
18 , 7 , 48 18:3 6 48 7 18
3 4 57 7:4 1,75 57 4 3
48:57 0,84
Arada olma
İki rasyonel sayı arasına bir yada birkac rasyonel sayı yerleştirmeye denir
IYOL: 2 4
II:YOL:2 4
IIIYOL: 1 2 4
3 5 3 5 2 3 5
2
1 2 4 1 10 12 1 22 22
2 3 5 2 15 15 2 15 30
Ornek:
5 ile 7 1 5 7 1 15 14
4 6 2 4 6 2 12 12
1 29 29
2 12 24
5 29 7
4 24 6
Cİrrasyonel sayılar
Sayı doğrusu uzerinde goruntusu olmasına karşın,rasyonel olmayan
gibi sayılara irrasyonel sayılar denirİrrasyonel sayıların oluşturduğu kumeye irrasyonel sayılar kumesi denir
Gercek (reel) sayılar kumesi
Rasyonel sayılar kumesi ile irrasyonel sayıların birleşim kumesine gercek (reel) sayılar kumesi denirGercek
sayılar kumesi ,sayı ekseninin her noktasını doldururSayı doğrusu uzerinde her noktaya bir gercek sayı her gercek sayıya da bir nokta karşılık gelir
Gercek sayılar kumesi,R sembolu ile gosterilir
2RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ
a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse ,paydalar eşitlenirPayların mutlak değerleri toplamı paya yazılırOrtak payda,paydaya yazılırtoplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir
Tam sayılı kesirler toplanırken ,bu kesirler bileşik kesre cevrilerek toplama işlemi yapılır
b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenirpayların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılırOrtak payda ,paydaya yazılırtoplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri buyuk olan rasyonel sayının işaretidir
Ornek:
1 2 1 20 24 15
3 5 4 60 60 60
+20+2415)
60
+4415)
60
29
60
3RASYONEL SAYILAR KUMESİNDE TOPLAMA İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
a)Kapalılık ozelliği
İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kumesi toplama işlemine gore kapalıdır
b)Değişme ozelliği
Rasyonel sayılar kumesinde,toplama işleminin değişme ozelliği vardır
c)Birleşme ozelliği
rasyonel sayılar kumesinde toplama işleminin birleşme ozelliği vardır
d)Etkisiz (birim) eleman ozelliği
0tam sayısına,rasyonel sayılar kumesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir
e)Ters eleman ozelliği
Toplamları 0tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine gore birbirinin tersi denir
4RASYONEL SAYILARDA CIKARMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının farkı bulunurken,eksilen rasyonel sayı,cıkan rasyonel sayının toplama işlemine gore tersi ile toplanır
Ornek:
+3 +1 +3 1 +18 5 +13
5 6 5 6 30 30 30
5RASYONEL SAYILARDA CARPMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının carpma işlemi payların carpımı paya,paydaların carpımı paydaya yazılarak yapılır
NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının carpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının carpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır
Yani:
(+) x (+) (+)
() x () (+)
() x (+) ()
(+) x () ()
NOT
Tam sayılı kesir bicminde verilen rasyonel sayılar carpılırken once tam sayılı kesirler bileşik kesre cevrilirSonra carpma işlemi yapılır
6RASYONEL SAYILAR KUMESİNDE CARPMA
İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
a)Kapalılık ozelliği
İki rasyonel sayının carpımı yine bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kumesi carpma işlemine gore kapalıdır
Ornek:
+3 2 6
4 3 12
b)Değişme ozelliği
Rasyonel sayılar kumesinde carpma işleminin değişme ozelliği vardır
Ornek:
19 1 +19
20 3 60
1 19 19
3 20 60
c)Birleşme ozelliği
Rasyonel sayılar kumesinde carpma işleminin değişme ozelliği vardır
Ornek:
+3 2 +1 6 +1 6
1 3 5 3 5 15
+3 2 +1 +3 2 6
1 3 5 1 15 15
d)Yutan eleman
Bir rasyonel sayının 0sayısı ile carpımı 0dır0sayısına ,carpma işleminin yutan elemanı denir
e)Etkisiz birim eleman
+1 rasyonel sayısına, carpma işlemine gore etkisiz (birim) eleman denir
f)Ters eleman
Carpımları +1 olan iki rasyonel sayıya carpma işlemine gore tersi denir
g)Carpma işleminin toplama işlemi uzerine dağılma ozelliği:
Rasyonel sayılar kumesinde , carpma işleminin toplama işlemi uzerine dağılma ozelliği vardır
h)Carpma işleminin cıkarma işlemi uzerine dağılma ozelliği:
Rasyonel sayılar kumesinde , carpma işleminin cıkarma işlemi uzerine dağılma ozelliği vardır
7RASYONEL SAYILARDA BOLME İŞLEMİ
İki rasyonel sayının bolme işlemi yapılırken, bolunene rasyonel sayı , bolen rasyonel sayının carpma işlemine gore tersi ile carpılırElde edilen carpım bolumu verir
NOT
Aynı işaretli iki rasyonel sayının bolumu pozitif ters işaretli ki rasyonel sayının bolumu ise negatif bir rasyonel sayıdır
Yani: + x + +
x +
x +
+ x
Ornek:
3 +2 3 +4 3
4 4 4 2 2
(+1) tam sayısının , bir rasyonel sayıya bolunmesinden elde edilen bolum,bolen rasyonel sayının carpma işlemine gore tersine eşittir
Ornek:
2 1 7 7
7 1 2 2
(1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bolunmesinden elde edilen bolum bolen rasyonel sayının carpma işlemine gore tersinin ters işaretlisine eşittir
Bir rasyonel sayının,(1) tamsayısına bolunmesinden elde edilen bolum , bolunen rasyonel sayının toplama işlemine gore tersine eşittir