Temel Tanım ve Teoremler hakkında bilgi istiyorum
Cevap: Temel Tanım ve Teoremler
Tanım 11: G boş olmayan bir kume olsun Her a, bÎ G icin,
: GxG G
(a , b) a b ile tanımlı fonksiyona G uzerinde bir ikili işlem denir ,G kumesi uzerinde bir ikili işlem olsun
(a) a, b, cÎ G icin a (b c) ( a b) c ise işleminin birleşme ozelliği vardır denir
(b) aÎ G icin a e e a olacak bicimde bir tek eÎ G elemanı varsa bu e elemanına G kumesinin işlemine gore birim elemanı denir
(c) aÎ G icin a a a a olacak bicimde bir a Î G elemanı varsa bu a elemanına a nın işlemine gore tersi denir
Bir G kumesi uzerinde tanımlı işlemi (a) koşulunu sağlarsa (G, ) cebirsel yapısına yarı grup denir Bir yarı grup (b) koşulunu sağlarsa , bu yarı gruba monoid denir (c) koşulunu sağlayan bir monoide grup denir
(G, ) bir grup olsun Her a, bÎ G icin a b b a eşitliği sağlanırsa G ye değişmeli grup denir
Tanım 12: R boş olmayan bir kume, + ve R uzerinde tanımlı iki işlem olsun (R,+) değişmeli bir grup, (R,) yarı grup ve işleminin + işlemi uzerine soldan ve sağdan dağılma ozellikleri yani, r , r , sÎ R icin,
s(r + r ) s r + s r ve (r + r )s r s + r s
sağlanırsa R ye halka denir
(R,) monoid ise halkaya birimli ve işlemi değişmeli ise halkaya değişmeli halka denir
Tanım 13: R bir halka ve S, R nin boştan farklı bir alt kumesi olsun S kumesi R deki işlemlere gore halka yapısını oluşturuyorsa S ye R nin bir alt halkası denir
Tanım 14: R bir halka olsun Z Í R ye R halkasının merkezi denir
Bir xÎ R icin Z (x) Í R kumesine x in R deki merkezleyeni denir
Tanım 15: R bir halka ve aÎ R olsun ab 0 ( ba 0 ) olacak şekilde bir bÎR bulunabiliyorsa a ` ya sol (sağ) sıfır bolen denir aÎ R elemanı hem sağ hem de sol sıfır bolen ise a `ya sıfır bolen denir 0 ¹ aÎR icin ab 0 ( ba 0 ) olduğunda b 0 olacak bicimde bÎ R varsa a ya sol(sağ) sıfır bolensizi denir
0 ¹ aÎ R elemanı hem sağ hem de sol sıfır bolensizi ise a ya sıfır bolensizi denir
Tanım 16: R en az iki elemanı olan bir halka olsun R komutatif, birimli ve sıfır bolensiz ise o zaman R halkasına Tamlık bolgesi denir
Tanım 17: R bir halka olsun aÎ R icin na 0 olacak şekilde bir en kucuk pozitif n tamsayısı varsa buna R nin karakteristiği denir ve charR n ile gosterilir Eğer boyle bir n tamsayısı bulunamazsa charR 0 dır
Tanım 18: R bir halka ve nÎ Z olsun xÎ R icin nx 0 olması x 0 olmasını gerektiriyorsa R ye n torsion free denir Orneğin, xÎ R icin 2x 0 olması x 0 olmasını gerektiriyorsa R ye 2torsion free denir
Tanım 19: (R,+,) ve (S,*,o) iki halka olsun f : R®S fonksiyonu a, b ÎR icin,
f(a) f(a) * f(b) ve f(ab) f(a) o f(b)
şartları sağlanıyorsa f ye bir halka homomorfizmi denir
Eğer f halka homomorfizmi , birebir ise f fonksiyonuna halka monomorfizmi denir Eğer f halka homomorfizmi , orten ise f fonksiyonuna halka epimorfizmi denir
Eğer f halka homomorfizmi , birebir ve orten ise f fonksiyonuna halka izomorfizmi denir
Eğer f :R®R fonksiyonu, bir halka homomorfizmi ise f ye halka endemorfizmi denir
Eğer f :R®R fonksiyonu , bir halka izomorfizmi ise f ye halka otomorfizmi denir
Tanım 110: R bir halka ve f : R ® S bir homomorfizm olsun
Ker f
kumesine f nin cekirdeği denir
Tanım 111: U kumesi R halkasının bir alt halkası olsun rÎ R ve uÎ U icin;
r uÎ U ( RU Í U )
ise U ya R nin sol ideali,
u rÎ U ( UR Í U )
ise U ya R nin sağ ideali denir
Hem sağ hem de sol ideal olan alt halkaya ideal denir
U bir sol (sağ) ideal olsun A (U) Í R idealine U nun R deki sol (sağ) sıfırlayanı denir
Tanım 112: R bir halka olsun 0 ¹ uÎ R icin u 0 olacak şekilde bir n pozitif tamsayısı varsa u elemanına nilpotent eleman denir Boyle pozitif sayıların en kucuğune nilpotent indeksi denir 0 ¹ u Î R icin u 0 , u ¹ 0 ise u ya nilpotent eleman ve n ye de nilpotentlik indeksi denir
Tanım 113: U, R nin bir ideali olsun Bir nÎ Z icin U 0 eşitliği sağlanıyorsa U ya R nin nilpotent ideali denir
U , R nin bir ideali olsun U nun her elemanı nilpotent ise U ya nil ideal denir
Her nilpotent ideal nil ideal olduğu halde nil olup nilpotent olmayan idealler vardır
Onerme 11: R bir halka halka ve U, R nin sıfırdan farklı sağ ideali olsun uÎ U icin u 0 olacak bicimde sabit en kucuk bir nÎ Z bulunabiliyorsa, R nin sıfırdan farklı bir nilpotent ideali vardır
Onerme 12: R sıfırdan farklı nilpotent ideali olmayan 2 torsion free halka olsun aÎ R ve xÎ R icin a(ax xa ) (ax xa ) a olacak bicimde ise aÎ Z dir
Tanım 114: R bir halka, P ¹ R, R nin bir ideali olsun R nin UV Í P koşulunu sağlayan her bir U ve V idealleri icin U Í P veya V Í P sağlanıyorsa P ye asal ideal denir
Teorem 11: R bir halka ve P onun ideali olsun Buna gore aşağıdakiler denktir
(i) P asal idealdir
(ii) a ,bÎ R icin aRb Í P ise a Î P veya b Î P dir
(iii) a ,bÎ R icin (a)(b) Í P ise a Î P veya b Î P dir
(iv) U ve V , R nin iki sol (sağ) ideali olmak uzere UV Í P ise U Í P veya V Í P dir
Tanım 115: R nin (0) ideali asal ideal ise halkaya asal halka denir
Teorem 12: R bir halka olsun Aşağıdaki ifadeler denktir
(i) R asal halkadır
(ii) a,b Î R icin aRb 0 Þ a 0 veya b 0 dır
(iii) U ve V, R nin idealleri olmak uzere UV 0 Þ U 0 veya V 0 dır
(iv) R nin sıfırdan farklı sol (sağ) idealinin sol (sağ) sıfırlayanı sıfırdır
Tanım 116: R bir halka ve P onun ideali olsun R nin herhangi bir U ideali icin, U Í P olduğunda U Í P oluyorsa P ye R nin yarıasal ideali denir
Teorem 13: R bir halka ve P onun ideali olsun Buna gore aşağıdakiler denktir
(i) P yarıasal idealdir
(ii) aÎ R icin aRa Í P ise aÎ P dir
(iii) (a), R de bir esas ideal ve (a) Í P ise aÎ P dir
(iv) U, R de bir sol (sağ) ideal ve U Í P ise U Í P dir
Tanım 117: R bir halka olsun R nin tum asal ideallerinin arakesitine R nin asal radikali denir ve P(R) ile gosterilir Bir R halkasında P(R) 0 ise, halkaya yarı asal halka denir
Bir R halkasının yarıasal olması icin gerekli ve yeterli koşul, aÎ R icin ,
aRa 0 olduğunda a 0 olmasıdır
Her asal halka bir yarı asal halkadır ama tersi daima doğru değildir
Onerme 13: R asal halka olsun aÎ R icin R nin sıfırdan farklı bir sağ ideali merkezleştiriyorsa aÎ Z dir
Teorem 14: R asal halka ve U, R nin sıfırdan farklı sol ideali olsun U değişmeli ise R değişmelidir
Tanım 118: Bir birleşmeli halka uzerinde yeni iki cebirsel yapı halkanın işlemlerinde kullanılarak; a, bÎ R icin a,b ab ba ve (a,b) ab + ba komutatorleri ile sırasıyla Lie yapısı ve Jordan yapısı olarak tanımlanabilir
Komutatorlerin bazı ozellikleri aşağıdaki gibi verilebilir a, b, cÎ R icin ;
(i) a,b b,a
(ii) a, c a,c + b,c
(iii) a, b+c a,b + a,c
(iv) ab, c ab,c + a,cb
(v) a, bc a,bc + b a, c
(vi) a,b , c + b,c , a + c,a , b 0 ( Jacobi ozdeşliği )
Onerme 14: R asal halka ve a, bÎ R olsun Her rÎ R icin ba, r 0 ise b 0 veya aÎ Z dir
Onerme 15: R bir asal halka olsun x, yÎ R ve 0¹ xÎZ icin xy 0 ise y 0 dır Onerme 16: R bir yarıasal halka ve aÎ R olsun x, yÎ R icin ax , y x , y a ise aÎ Z dir
Onerme 17: R bir asal halka Z, R nin merkezi ve 0 ¹ cÎZ olsun Bir aÎ R icin acÎ Z ise aÎ Z dir
Tanım 119: R bir halka olsun R nin bir toplamsal alt grubunun her a, bÎ A elemanı a, b Î A ( (a,b)Î A ) koşulunu sağlıyorsa A ya R nin Lie (Jordan) alt halkası denir
Tanım 120: R bir halka ve A, R nin Lie (Jordan) alt halkası olsun A nın bir U toplamsal alt grubu her bir uÎ U ve aÎ A icin u, aÎ U ( (u , a) Î U ) koşulunu sağlıyorsa U ya A nın Lie (Jordan ) ideali denir
Her ideal bir Lie ve Jordan idealdir ama tersi daima doğru değildir
Onerme 18: R bir asal halka, char R ¹ 2 ve U Z , R nin bir Lie ideali olsun Buna gore, aUb 0 ise a 0 veya b 0 dır
Teorem 15: R 2 torsion free asal halka olsun R nin sıfırdan farklı bir nilpotent ideali yoksa, R nin sıfırdan farklı her bir Jordan ideali, R nin sıfırdan farklı en az bir idealini icerir
Tanım 121: R bir halka U, R nin toplamsal bir alt grubu ve s, t : R R iki donuşum olsun x,y xs
tx olmak uzere ;
(a) U,R Ì U ise U ya R nın bir (s,t) sağ Lie ideali,
(b) R,U Ì U ise U ya R nın bir (s,t) sol Lie ideali,
(c) (a) ve (b) aynı anda sağlanıyorsa U ya R nin bir (s,t) Lie ideali denir
s ve t R nin iki otomorfizmleri olmak uzere, C kumesine R nin (s,t) merkezi denir
Onerme 19: R bir asal halka ve 0 ¹ d : R® R bir (s,t) turev olsun Buna gore ,
(i) a, bÎ R icin ab 0 ve bÎ C ise a 0 veya b 0 dır
(ii) b, abÎ C ise aÎ Z veya b 0 dır
Onerme 110: U sıfırdan farklı bir (s,t) sol Lie ideali olsun Eğer UÌ C ise UÌ Z dir
Cevap: Temel Tanım ve Teoremler
Tanım 11: G boş olmayan bir kume olsun Her a, bÎ G icin,
: GxG G
(a , b) a b ile tanımlı fonksiyona G uzerinde bir ikili işlem denir ,G kumesi uzerinde bir ikili işlem olsun
(a) a, b, cÎ G icin a (b c) ( a b) c ise işleminin birleşme ozelliği vardır denir
(b) aÎ G icin a e e a olacak bicimde bir tek eÎ G elemanı varsa bu e elemanına G kumesinin işlemine gore birim elemanı denir
(c) aÎ G icin a a a a olacak bicimde bir a Î G elemanı varsa bu a elemanına a nın işlemine gore tersi denir
Bir G kumesi uzerinde tanımlı işlemi (a) koşulunu sağlarsa (G, ) cebirsel yapısına yarı grup denir Bir yarı grup (b) koşulunu sağlarsa , bu yarı gruba monoid denir (c) koşulunu sağlayan bir monoide grup denir
(G, ) bir grup olsun Her a, bÎ G icin a b b a eşitliği sağlanırsa G ye değişmeli grup denir
Tanım 12: R boş olmayan bir kume, + ve R uzerinde tanımlı iki işlem olsun (R,+) değişmeli bir grup, (R,) yarı grup ve işleminin + işlemi uzerine soldan ve sağdan dağılma ozellikleri yani, r , r , sÎ R icin,
s(r + r ) s r + s r ve (r + r )s r s + r s
sağlanırsa R ye halka denir
(R,) monoid ise halkaya birimli ve işlemi değişmeli ise halkaya değişmeli halka denir
Tanım 13: R bir halka ve S, R nin boştan farklı bir alt kumesi olsun S kumesi R deki işlemlere gore halka yapısını oluşturuyorsa S ye R nin bir alt halkası denir
Tanım 14: R bir halka olsun Z Í R ye R halkasının merkezi denir
Bir xÎ R icin Z (x) Í R kumesine x in R deki merkezleyeni denir
Tanım 15: R bir halka ve aÎ R olsun ab 0 ( ba 0 ) olacak şekilde bir bÎR bulunabiliyorsa a ` ya sol (sağ) sıfır bolen denir aÎ R elemanı hem sağ hem de sol sıfır bolen ise a `ya sıfır bolen denir 0 ¹ aÎR icin ab 0 ( ba 0 ) olduğunda b 0 olacak bicimde bÎ R varsa a ya sol(sağ) sıfır bolensizi denir
0 ¹ aÎ R elemanı hem sağ hem de sol sıfır bolensizi ise a ya sıfır bolensizi denir
Tanım 16: R en az iki elemanı olan bir halka olsun R komutatif, birimli ve sıfır bolensiz ise o zaman R halkasına Tamlık bolgesi denir
Tanım 17: R bir halka olsun aÎ R icin na 0 olacak şekilde bir en kucuk pozitif n tamsayısı varsa buna R nin karakteristiği denir ve charR n ile gosterilir Eğer boyle bir n tamsayısı bulunamazsa charR 0 dır
Tanım 18: R bir halka ve nÎ Z olsun xÎ R icin nx 0 olması x 0 olmasını gerektiriyorsa R ye n torsion free denir Orneğin, xÎ R icin 2x 0 olması x 0 olmasını gerektiriyorsa R ye 2torsion free denir
Tanım 19: (R,+,) ve (S,*,o) iki halka olsun f : R®S fonksiyonu a, b ÎR icin,
f(a) f(a) * f(b) ve f(ab) f(a) o f(b)
şartları sağlanıyorsa f ye bir halka homomorfizmi denir
Eğer f halka homomorfizmi , birebir ise f fonksiyonuna halka monomorfizmi denir Eğer f halka homomorfizmi , orten ise f fonksiyonuna halka epimorfizmi denir
Eğer f halka homomorfizmi , birebir ve orten ise f fonksiyonuna halka izomorfizmi denir
Eğer f :R®R fonksiyonu, bir halka homomorfizmi ise f ye halka endemorfizmi denir
Eğer f :R®R fonksiyonu , bir halka izomorfizmi ise f ye halka otomorfizmi denir
Tanım 110: R bir halka ve f : R ® S bir homomorfizm olsun
Ker f
kumesine f nin cekirdeği denir
Tanım 111: U kumesi R halkasının bir alt halkası olsun rÎ R ve uÎ U icin;
r uÎ U ( RU Í U )
ise U ya R nin sol ideali,
u rÎ U ( UR Í U )
ise U ya R nin sağ ideali denir
Hem sağ hem de sol ideal olan alt halkaya ideal denir
U bir sol (sağ) ideal olsun A (U) Í R idealine U nun R deki sol (sağ) sıfırlayanı denir
Tanım 112: R bir halka olsun 0 ¹ uÎ R icin u 0 olacak şekilde bir n pozitif tamsayısı varsa u elemanına nilpotent eleman denir Boyle pozitif sayıların en kucuğune nilpotent indeksi denir 0 ¹ u Î R icin u 0 , u ¹ 0 ise u ya nilpotent eleman ve n ye de nilpotentlik indeksi denir
Tanım 113: U, R nin bir ideali olsun Bir nÎ Z icin U 0 eşitliği sağlanıyorsa U ya R nin nilpotent ideali denir
U , R nin bir ideali olsun U nun her elemanı nilpotent ise U ya nil ideal denir
Her nilpotent ideal nil ideal olduğu halde nil olup nilpotent olmayan idealler vardır
Onerme 11: R bir halka halka ve U, R nin sıfırdan farklı sağ ideali olsun uÎ U icin u 0 olacak bicimde sabit en kucuk bir nÎ Z bulunabiliyorsa, R nin sıfırdan farklı bir nilpotent ideali vardır
Onerme 12: R sıfırdan farklı nilpotent ideali olmayan 2 torsion free halka olsun aÎ R ve xÎ R icin a(ax xa ) (ax xa ) a olacak bicimde ise aÎ Z dir
Tanım 114: R bir halka, P ¹ R, R nin bir ideali olsun R nin UV Í P koşulunu sağlayan her bir U ve V idealleri icin U Í P veya V Í P sağlanıyorsa P ye asal ideal denir
Teorem 11: R bir halka ve P onun ideali olsun Buna gore aşağıdakiler denktir
(i) P asal idealdir
(ii) a ,bÎ R icin aRb Í P ise a Î P veya b Î P dir
(iii) a ,bÎ R icin (a)(b) Í P ise a Î P veya b Î P dir
(iv) U ve V , R nin iki sol (sağ) ideali olmak uzere UV Í P ise U Í P veya V Í P dir
Tanım 115: R nin (0) ideali asal ideal ise halkaya asal halka denir
Teorem 12: R bir halka olsun Aşağıdaki ifadeler denktir
(i) R asal halkadır
(ii) a,b Î R icin aRb 0 Þ a 0 veya b 0 dır
(iii) U ve V, R nin idealleri olmak uzere UV 0 Þ U 0 veya V 0 dır
(iv) R nin sıfırdan farklı sol (sağ) idealinin sol (sağ) sıfırlayanı sıfırdır
Tanım 116: R bir halka ve P onun ideali olsun R nin herhangi bir U ideali icin, U Í P olduğunda U Í P oluyorsa P ye R nin yarıasal ideali denir
Teorem 13: R bir halka ve P onun ideali olsun Buna gore aşağıdakiler denktir
(i) P yarıasal idealdir
(ii) aÎ R icin aRa Í P ise aÎ P dir
(iii) (a), R de bir esas ideal ve (a) Í P ise aÎ P dir
(iv) U, R de bir sol (sağ) ideal ve U Í P ise U Í P dir
Tanım 117: R bir halka olsun R nin tum asal ideallerinin arakesitine R nin asal radikali denir ve P(R) ile gosterilir Bir R halkasında P(R) 0 ise, halkaya yarı asal halka denir
Bir R halkasının yarıasal olması icin gerekli ve yeterli koşul, aÎ R icin ,
aRa 0 olduğunda a 0 olmasıdır
Her asal halka bir yarı asal halkadır ama tersi daima doğru değildir
Onerme 13: R asal halka olsun aÎ R icin R nin sıfırdan farklı bir sağ ideali merkezleştiriyorsa aÎ Z dir
Teorem 14: R asal halka ve U, R nin sıfırdan farklı sol ideali olsun U değişmeli ise R değişmelidir
Tanım 118: Bir birleşmeli halka uzerinde yeni iki cebirsel yapı halkanın işlemlerinde kullanılarak; a, bÎ R icin a,b ab ba ve (a,b) ab + ba komutatorleri ile sırasıyla Lie yapısı ve Jordan yapısı olarak tanımlanabilir
Komutatorlerin bazı ozellikleri aşağıdaki gibi verilebilir a, b, cÎ R icin ;
(i) a,b b,a
(ii) a, c a,c + b,c
(iii) a, b+c a,b + a,c
(iv) ab, c ab,c + a,cb
(v) a, bc a,bc + b a, c
(vi) a,b , c + b,c , a + c,a , b 0 ( Jacobi ozdeşliği )
Onerme 14: R asal halka ve a, bÎ R olsun Her rÎ R icin ba, r 0 ise b 0 veya aÎ Z dir
Onerme 15: R bir asal halka olsun x, yÎ R ve 0¹ xÎZ icin xy 0 ise y 0 dır Onerme 16: R bir yarıasal halka ve aÎ R olsun x, yÎ R icin ax , y x , y a ise aÎ Z dir
Onerme 17: R bir asal halka Z, R nin merkezi ve 0 ¹ cÎZ olsun Bir aÎ R icin acÎ Z ise aÎ Z dir
Tanım 119: R bir halka olsun R nin bir toplamsal alt grubunun her a, bÎ A elemanı a, b Î A ( (a,b)Î A ) koşulunu sağlıyorsa A ya R nin Lie (Jordan) alt halkası denir
Tanım 120: R bir halka ve A, R nin Lie (Jordan) alt halkası olsun A nın bir U toplamsal alt grubu her bir uÎ U ve aÎ A icin u, aÎ U ( (u , a) Î U ) koşulunu sağlıyorsa U ya A nın Lie (Jordan ) ideali denir
Her ideal bir Lie ve Jordan idealdir ama tersi daima doğru değildir
Onerme 18: R bir asal halka, char R ¹ 2 ve U Z , R nin bir Lie ideali olsun Buna gore, aUb 0 ise a 0 veya b 0 dır
Teorem 15: R 2 torsion free asal halka olsun R nin sıfırdan farklı bir nilpotent ideali yoksa, R nin sıfırdan farklı her bir Jordan ideali, R nin sıfırdan farklı en az bir idealini icerir
Tanım 121: R bir halka U, R nin toplamsal bir alt grubu ve s, t : R R iki donuşum olsun x,y xs
tx olmak uzere ;(a) U,R Ì U ise U ya R nın bir (s,t) sağ Lie ideali,
(b) R,U Ì U ise U ya R nın bir (s,t) sol Lie ideali,
(c) (a) ve (b) aynı anda sağlanıyorsa U ya R nin bir (s,t) Lie ideali denir
s ve t R nin iki otomorfizmleri olmak uzere, C kumesine R nin (s,t) merkezi denir
Onerme 19: R bir asal halka ve 0 ¹ d : R® R bir (s,t) turev olsun Buna gore ,
(i) a, bÎ R icin ab 0 ve bÎ C ise a 0 veya b 0 dır
(ii) b, abÎ C ise aÎ Z veya b 0 dır
Onerme 110: U sıfırdan farklı bir (s,t) sol Lie ideali olsun Eğer UÌ C ise UÌ Z dir
