Doğal Sayılarda Dort İşlem
Doğal Sayılarda Dort İşlem Ornekleri
Doğal Sayılar Dort işlem Matematik Dersi konu anlatımı
0, 1, 2, 3, , 50, devam eden sayılara doğal sayılar denir
Doğal sayılar kumesi D ile gosterilir
D
İkinin katı olan sayılara cift doğal sayılar, cift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir
n bir doğal sayı iken;
Cift doğal sayılar : 2
Tek doğal sayılar : 2 + 1 biciminde gosterilir
Sayma Sayıları
Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir
S
SAYI DOĞRUSU
Doğal sayılar kumesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı noktaları ile birebir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir
ONLUK SAYMA DUZENİ
Sayı sistemimiz onluk sayma duzenine goredir Bu duzende cokluklar birlik, onluk, yuzluk, binlik gibi gruplara ayrılır Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir Orneğin, 2543 sayısı icinde 3 birlik, 4 onluk, 5 yuzluk, 2 binlik vardır
RAKAM
Ona kadar olan doğal sayıları gosteren işaretlere rakam denir
Rakamlar kumesi : R olarak tanımlanır
Onluk sistemde on tane rakam kullanılır
BASAMAK DEĞERİ
Rakamların sayı icinde bulundukları basamağa gore aldıkları değerlere basamak değeri ya da bağıl değer denir
Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir
SAYI DEĞERİ
Rakamların sayı icindeki basamak değerleri gozonune alınmadan tek başına gosterdiği değere sayı değeri ya da mutlak değeri denir
COZUMLEME
Bir sayının icinde kac tane birlik, kac tane onluk, kac tane yuzluk, kac tane binlik, varsa bunları ayırarak toplam biciminde yazmaya cozumleme denir
2345 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +
10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
GRUPLAMA
Sayıları basamak değerlerinin toplamı bicimde yazmaya gruplama denir
2345 2000 + 300 + 40 + 5 veya
2 binlik + 3 yuzluk + 4 onluk + 5 birlik
SAYILARIN USLU BİCİMDE GOSTERİLMESİ
USLU SAYILARIN OKUNUŞU
4 4 ussu 2 (4'un karesi, 4'un ikinci kuvveti)
5 5 ussu 3 (5'in kubu, 5'in ucuncu kuvveti)
3 3 ussu 4 (3'un dorduncu kuvveti)
USSUN ANLAMI
Us tabanın kendisi ile kac kez carpılacağını gosterir
10 10 x 10 100
5 5 x 5 x 5 125
4 4 x 4 x 4 x 4 256
3 3 x 3 x 3 x 3 x 3 243
2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 64
USLU SAYILARIN OZELLİKLERİ
Bir sayıda us yazılmamışsa us 1 dir 3 3, 7 7, 10 10, 15 15
Ussu 0 olan sayı 1'e eşittir 80 1, 9 1, 160 1, 0 1
Ussu 1 olan sayı kendisine eşittir 7 7, 1000 1000, 64 64, 1 1
1 sayısının butun kuvvetleri 1'e eşittir 1 1, 1 1, 1 1
Tabanları aynı olan uslu sayılar carpılırken; ortak taban yazılır, usler toplanıp bir tek us olarak yazılır
USLU BİCİMDE COZUMLEME
Bir sayı uslu bicimde cozumlenirken basamak değeri 10'un ussu şeklinde yazılır
5679 (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)
(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)
DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA
Sayı doğrusu uzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan kucuk solundaki sayıdan buyuktur Doğal sayılar sıralanırken aralarına kucuk ( ) veya buyuk ( ) işareti konur
Kucuk Buyuk
Buyuk Kucuk
işaretinin sivri ucuyla gosterdiği sayı diğer taraftaki sayıdan kucuktur
DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA
AB olmak uzere, (AB) kumesinin eleman sayısına toplama denir
A ve B ise
s(A) + s(B) s(AB) 2 + 4 6
Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir İşlemin sonucuna da toplam denir
Toplama işlemi, ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır Aynı turden ve birimleri aynı olan cokluklar toplanabilir
TOPLAMA İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
KAPALILIK OZELLİĞİ
İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır Buna kapalılık ozelliği denir
3D, 4D icin 3 + 4 7D dir
9D, 13D icin 9 + 13 22D dir
aD, bD icin (a + b)D dir
DEĞİŞME OZELLİĞİ
Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez Buna toplamada değişme ozelliği denir
3 + 5 8 5 + 3
aD, bD ise; a + b b + a dir
BİRLEŞME OZELLİĞİ
Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmez Bu ozelliğe
toplama işleminin birleşme ozelliği denir
3 + (4 + 6) (3 + 4) + 6 3 + 10 7 + 6 13 13
aD, bD, cD ise (a + b) + c a + (b + c) dir
Cok terimli toplama işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı sağlanır
ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN
Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir
5 + 0 5
0 + 6 6
Doğal sayılar kumesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır
DOĞAL SAYILARDA CIKARMA
A B
s(A) 5 ve s(B) 2 dir
s(A) s(B) s(C)
5 2 3 olarak gosterilir Burada 5 : eksilen; 2 : cıkan 3 : fark olarak adlandırılır
B A ise A B kumesinin eleman sayısına A ve B kumelerinin eleman sayılarının farkı denir Bu farkı bulmak icin yapılan işleme cıkarma işlemi adı verilir
Cıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır Sağlaması; ab c ise a b + c olacak şekilde yapılır Cıkarma işlemi toplamanın tersidir
CIKARMA İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
Kapalılık ozelliği yoktur 5D ve 6D icin; 56 doğal sayı değildir
Değişme ozelliği yoktur 6D ve 2D icin; 62 4D; 26 doğal sayı değildir
Birleşme ozelliği yoktur 7(52) (75)2 73 22 4 0
Doğal sayılar kumesinde cıkarma işlemine gore etkisiz (birim) eleman yoktur 30 3 olmakla beraber 03 3'tur
DOĞAL SAYILARDA CARPMA
Elemanlarının sayısı bilinen A ve B kumeleri icin s(A) a, s(B) b ve s(A ) x s( B) m ise, m doğal sayısına a ile b'nin carpımı denir m a x b biciminde gosterilir Carpma işareti ( x ) ya da( )' dır
CARPMA İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
KAPALILIK OZELLİĞİ
İki doğal sayının carpımı yine bir doğal sayıdır Bu ozelliğe doğal sayılar kumesi carpma işlemine gore kapalıdır denir
DEĞİŞME OZELLİĞİ
Bir carpma işleminde carpanların yerleri değiştirilirse carpım değişmez Bu duruma carpmanın değişme ozelliği denir
4 x 5 20 5 x 4 20 4 x 5 5 x 4'tur
aD, bD icin; a x b b x a 'dır
BİRLEŞME OZELLİĞİ
Carpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak carpılırsa carpım değişmez Bu ozelliğe carpma işleminin birleşme ozelliği denir
4D, 5D, 2D icin
4 x (5 x 2) (4 x 5) x 2 4 x 10 20 x 2; 40 40'tır
ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN
Bir sayının 1 ile carpımı kendisine eşittir 1 sayısı carpma işlemini etkilemez 1 sayısına carpma işleminin etkisiz (birim) elemanı denir
1 x 5 5 5 x 1 5 5 x 1 1 x 5 5'dir
aD icin a x 1 1 x a a 'dır
YUTAN ELEMAN
Bir sayının sıfır ile carpımı sıfıra eşittir Bu nedenle 0 sayısına carpma işleminde yutan eleman denir
4 x 0 0 0 x 4 0 4 x 0 0 x 4 0 'dır
aD icin 0 x a a x 0 0 'dır
CARPMANIN TOPLAMA VE CIKARMA UZERİNE DAĞILMA OZELLİĞİ
aD, bD, cD icin a x (b + c) (a x b) + (a x c) ve
aD, bD, cD icin a x (bc) (a x b) (a x c) 'dir
Bu ozelliğe, carpmanın toplama ya da cıkarma uzerine dağılma ozelliği denir
CARPMADA KOLAYLIKLAR
Bir sayıyı 10, 100, 1000, ile carpmak icin, sayının sağına bir, iki, uc, sıfır yazılır
14 x 10 140
16 x 100 1600
22 x 1000 22000
7 x 10000 70000
Bir sayıyı 25 ile carpmak icin, sayı 100 ile carpılır Carpım 4'e bolunur
25 x 36 (36 x 100)4 900
Bir sayı 50 ile carpılırken, sayı 100'le carpılır, carpım 2'ye bolunur
78 x 50 (78 x 100)2 78002 3200
Bir sayı 5'le carpılırken, sayı 10'la carpılır sonra 2'ye bolunur
89 x 5 (89 x 10)2 8902 445
Bir sayı 9'la carpılırken, sayı 10'la carpılır, carpımdan sayının kendisi cıkarılır
56 x 9 (56 x 10)56, 56056 504
DOĞAL SAYILARDA BOLME
aD, bD ve b0 olmak uzere, a x b c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a'nın b'ye bolumu denir ab c veya a:b c olarak gosterilir
BOLMENİN SAĞLAMASI
Sağlama işlemi, Bolunen (bolen x bolum) + kalan eşitliğiyle yapılır
Carpma ve bolme işlemleri birbirinin tersidir
BOLME İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
Bolme işleminin doğal sayılarda kapalılık ozelliği yoktur
4D, 3D icin 43 doğal sayı değildir
Bolme işleminin doğal sayılarda değişme ozelliği yoktur
5D, 15D icin, 155 515
Doğal sayılarda bolme işleminin birleşme ozelliği yoktur
(244)2 24(42) 62 242 3 12
Doğal sayılar kumesinde bolme işleminin etkisiz elemanı yoktur
21 12 2 0,5
Bir doğal sayının 1'e bolumu kendisine eşittir
aD icin a1 a dır 11 1, 391 39, 31 3, 1011 101
Sıfırın (0) bir sayma sayısına bolumu sıfırdır
0a 0 'dır 04 0, 0100 0, 015 0
0 haric, bir doğal sayının kendisine bolumu 1'e eşittir
aD icin aa 1 'dir 66 1, 109109 1, 1010 1, 8888 1
Bir doğal sayı sıfıra bolunemez
50 tanımsız, 120 tanımsız
Bir sayıyı 10, 100, 1000 ile bolmek;
10'a bolerken bir sıfır silinir 40010 40
100'e bolerken iki sıfır silinir 200100 2
1000'e bolerken uc sıfır silinir 30001000 3
Doğal Sayılarda Dort İşlem Ornekleri
Doğal Sayılar Dort işlem Matematik Dersi konu anlatımı
0, 1, 2, 3, , 50, devam eden sayılara doğal sayılar denir
Doğal sayılar kumesi D ile gosterilir
D
İkinin katı olan sayılara cift doğal sayılar, cift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir
n bir doğal sayı iken;
Cift doğal sayılar : 2
Tek doğal sayılar : 2 + 1 biciminde gosterilir
Sayma Sayıları
Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir
S
SAYI DOĞRUSU
Doğal sayılar kumesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı noktaları ile birebir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir
ONLUK SAYMA DUZENİ
Sayı sistemimiz onluk sayma duzenine goredir Bu duzende cokluklar birlik, onluk, yuzluk, binlik gibi gruplara ayrılır Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir Orneğin, 2543 sayısı icinde 3 birlik, 4 onluk, 5 yuzluk, 2 binlik vardır
RAKAM
Ona kadar olan doğal sayıları gosteren işaretlere rakam denir
Rakamlar kumesi : R olarak tanımlanır
Onluk sistemde on tane rakam kullanılır
BASAMAK DEĞERİ
Rakamların sayı icinde bulundukları basamağa gore aldıkları değerlere basamak değeri ya da bağıl değer denir
Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir
SAYI DEĞERİ
Rakamların sayı icindeki basamak değerleri gozonune alınmadan tek başına gosterdiği değere sayı değeri ya da mutlak değeri denir
COZUMLEME
Bir sayının icinde kac tane birlik, kac tane onluk, kac tane yuzluk, kac tane binlik, varsa bunları ayırarak toplam biciminde yazmaya cozumleme denir
2345 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +
10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
GRUPLAMA
Sayıları basamak değerlerinin toplamı bicimde yazmaya gruplama denir
2345 2000 + 300 + 40 + 5 veya
2 binlik + 3 yuzluk + 4 onluk + 5 birlik
SAYILARIN USLU BİCİMDE GOSTERİLMESİ
USLU SAYILARIN OKUNUŞU
4 4 ussu 2 (4'un karesi, 4'un ikinci kuvveti)
5 5 ussu 3 (5'in kubu, 5'in ucuncu kuvveti)
3 3 ussu 4 (3'un dorduncu kuvveti)
USSUN ANLAMI
Us tabanın kendisi ile kac kez carpılacağını gosterir
10 10 x 10 100
5 5 x 5 x 5 125
4 4 x 4 x 4 x 4 256
3 3 x 3 x 3 x 3 x 3 243
2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 64
USLU SAYILARIN OZELLİKLERİ
Bir sayıda us yazılmamışsa us 1 dir 3 3, 7 7, 10 10, 15 15
Ussu 0 olan sayı 1'e eşittir 80 1, 9 1, 160 1, 0 1
Ussu 1 olan sayı kendisine eşittir 7 7, 1000 1000, 64 64, 1 1
1 sayısının butun kuvvetleri 1'e eşittir 1 1, 1 1, 1 1
Tabanları aynı olan uslu sayılar carpılırken; ortak taban yazılır, usler toplanıp bir tek us olarak yazılır
USLU BİCİMDE COZUMLEME
Bir sayı uslu bicimde cozumlenirken basamak değeri 10'un ussu şeklinde yazılır
5679 (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)
(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)
DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA
Sayı doğrusu uzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan kucuk solundaki sayıdan buyuktur Doğal sayılar sıralanırken aralarına kucuk ( ) veya buyuk ( ) işareti konur
Kucuk Buyuk
Buyuk Kucuk
işaretinin sivri ucuyla gosterdiği sayı diğer taraftaki sayıdan kucuktur
DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA
AB olmak uzere, (AB) kumesinin eleman sayısına toplama denir
A ve B ise
s(A) + s(B) s(AB) 2 + 4 6
Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir İşlemin sonucuna da toplam denir
Toplama işlemi, ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır Aynı turden ve birimleri aynı olan cokluklar toplanabilir
TOPLAMA İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
KAPALILIK OZELLİĞİ
İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır Buna kapalılık ozelliği denir
3D, 4D icin 3 + 4 7D dir
9D, 13D icin 9 + 13 22D dir
aD, bD icin (a + b)D dir
DEĞİŞME OZELLİĞİ
Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez Buna toplamada değişme ozelliği denir
3 + 5 8 5 + 3
aD, bD ise; a + b b + a dir
BİRLEŞME OZELLİĞİ
Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmez Bu ozelliğe
toplama işleminin birleşme ozelliği denir
3 + (4 + 6) (3 + 4) + 6 3 + 10 7 + 6 13 13
aD, bD, cD ise (a + b) + c a + (b + c) dir
Cok terimli toplama işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı sağlanır
ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN
Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir
5 + 0 5
0 + 6 6
Doğal sayılar kumesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır
DOĞAL SAYILARDA CIKARMA
A B
s(A) 5 ve s(B) 2 dir
s(A) s(B) s(C)
5 2 3 olarak gosterilir Burada 5 : eksilen; 2 : cıkan 3 : fark olarak adlandırılır
B A ise A B kumesinin eleman sayısına A ve B kumelerinin eleman sayılarının farkı denir Bu farkı bulmak icin yapılan işleme cıkarma işlemi adı verilir
Cıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır Sağlaması; ab c ise a b + c olacak şekilde yapılır Cıkarma işlemi toplamanın tersidir
CIKARMA İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
Kapalılık ozelliği yoktur 5D ve 6D icin; 56 doğal sayı değildir
Değişme ozelliği yoktur 6D ve 2D icin; 62 4D; 26 doğal sayı değildir
Birleşme ozelliği yoktur 7(52) (75)2 73 22 4 0
Doğal sayılar kumesinde cıkarma işlemine gore etkisiz (birim) eleman yoktur 30 3 olmakla beraber 03 3'tur
DOĞAL SAYILARDA CARPMA
Elemanlarının sayısı bilinen A ve B kumeleri icin s(A) a, s(B) b ve s(A ) x s( B) m ise, m doğal sayısına a ile b'nin carpımı denir m a x b biciminde gosterilir Carpma işareti ( x ) ya da( )' dır
CARPMA İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
KAPALILIK OZELLİĞİ
İki doğal sayının carpımı yine bir doğal sayıdır Bu ozelliğe doğal sayılar kumesi carpma işlemine gore kapalıdır denir
DEĞİŞME OZELLİĞİ
Bir carpma işleminde carpanların yerleri değiştirilirse carpım değişmez Bu duruma carpmanın değişme ozelliği denir
4 x 5 20 5 x 4 20 4 x 5 5 x 4'tur
aD, bD icin; a x b b x a 'dır
BİRLEŞME OZELLİĞİ
Carpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak carpılırsa carpım değişmez Bu ozelliğe carpma işleminin birleşme ozelliği denir
4D, 5D, 2D icin
4 x (5 x 2) (4 x 5) x 2 4 x 10 20 x 2; 40 40'tır
ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN
Bir sayının 1 ile carpımı kendisine eşittir 1 sayısı carpma işlemini etkilemez 1 sayısına carpma işleminin etkisiz (birim) elemanı denir
1 x 5 5 5 x 1 5 5 x 1 1 x 5 5'dir
aD icin a x 1 1 x a a 'dır
YUTAN ELEMAN
Bir sayının sıfır ile carpımı sıfıra eşittir Bu nedenle 0 sayısına carpma işleminde yutan eleman denir
4 x 0 0 0 x 4 0 4 x 0 0 x 4 0 'dır
aD icin 0 x a a x 0 0 'dır
CARPMANIN TOPLAMA VE CIKARMA UZERİNE DAĞILMA OZELLİĞİ
aD, bD, cD icin a x (b + c) (a x b) + (a x c) ve
aD, bD, cD icin a x (bc) (a x b) (a x c) 'dir
Bu ozelliğe, carpmanın toplama ya da cıkarma uzerine dağılma ozelliği denir
CARPMADA KOLAYLIKLAR
Bir sayıyı 10, 100, 1000, ile carpmak icin, sayının sağına bir, iki, uc, sıfır yazılır
14 x 10 140
16 x 100 1600
22 x 1000 22000
7 x 10000 70000
Bir sayıyı 25 ile carpmak icin, sayı 100 ile carpılır Carpım 4'e bolunur
25 x 36 (36 x 100)4 900
Bir sayı 50 ile carpılırken, sayı 100'le carpılır, carpım 2'ye bolunur
78 x 50 (78 x 100)2 78002 3200
Bir sayı 5'le carpılırken, sayı 10'la carpılır sonra 2'ye bolunur
89 x 5 (89 x 10)2 8902 445
Bir sayı 9'la carpılırken, sayı 10'la carpılır, carpımdan sayının kendisi cıkarılır
56 x 9 (56 x 10)56, 56056 504
DOĞAL SAYILARDA BOLME
aD, bD ve b0 olmak uzere, a x b c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a'nın b'ye bolumu denir ab c veya a:b c olarak gosterilir
BOLMENİN SAĞLAMASI
Sağlama işlemi, Bolunen (bolen x bolum) + kalan eşitliğiyle yapılır
Carpma ve bolme işlemleri birbirinin tersidir
BOLME İŞLEMİNİN OZELLİKLERİ
Bolme işleminin doğal sayılarda kapalılık ozelliği yoktur
4D, 3D icin 43 doğal sayı değildir
Bolme işleminin doğal sayılarda değişme ozelliği yoktur
5D, 15D icin, 155 515
Doğal sayılarda bolme işleminin birleşme ozelliği yoktur
(244)2 24(42) 62 242 3 12
Doğal sayılar kumesinde bolme işleminin etkisiz elemanı yoktur
21 12 2 0,5
Bir doğal sayının 1'e bolumu kendisine eşittir
aD icin a1 a dır 11 1, 391 39, 31 3, 1011 101
Sıfırın (0) bir sayma sayısına bolumu sıfırdır
0a 0 'dır 04 0, 0100 0, 015 0
0 haric, bir doğal sayının kendisine bolumu 1'e eşittir
aD icin aa 1 'dir 66 1, 109109 1, 1010 1, 8888 1
Bir doğal sayı sıfıra bolunemez
50 tanımsız, 120 tanımsız
Bir sayıyı 10, 100, 1000 ile bolmek;
10'a bolerken bir sıfır silinir 40010 40
100'e bolerken iki sıfır silinir 200100 2
1000'e bolerken uc sıfır silinir 30001000 3